Задача на собственные значения:
y''+(k^2)*y=0 если y(0)=y(pi) и y'(pi)=0
y=e^(Lx)
y''=(L^2)*e^(Lx)
(L^2)*e^(Lx)+(k^2)*e^(Lx)=0

(e^(Lx))*((L^2)+k^2)=0
L=+-ki
y=c1cos(kx)+c2sin(kx)
y(0)=c1
y(pi)=-c1
y(0)=y(pi): c1=-c1, c1=0

y'=-k*c1*sin(kx)+k*c2*cos(kx)
y'(pi)=-k*c1
-k*c2=0
тогда и с2 тоже равно 0, но это не правильно же

подскажите пожалуйста в чём ошибка

y(pi)=c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)
Кто Вам сказал,что k здесь целое? Оно ведь вообще любое может быть.
То же и для производной в точке x=pi.

тогда из c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)=с1 надо выразить с1 например, а при y'(pi)=0 выразить с2?

Из первого равенства можно выразить c1 и подставить во второе,к-е получится при расписывании условия y'(pi)=0. Оттуда найдёте c2, потом и с1.

с2 получилось
с2=(-с1*(cos(k*pi)-1))/(sin(k*pi))
во второе подставив
-k*c1*sin(k*pi)+k*cos(k*pi)*(-с1*(cos(k*pi)-1))/(sin(k*pi))=0
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)+с1*cos(k*pi)=0
т.к -k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=1
минус1+с1*cos(k*pi)=0
с1*cos(k*pi)=1
с1 не равно 0
cos(k*pi)=1
k*pi=pi+pi*n - собственное значение
k=(pi+pi*n)/pi
y=с1*cos((pi+pi*n)/pi)x - собственная функция

-1+с1*cos(k*pi)=0
с1*cos(k*pi)=1
с1 не равно 0
cos(k*pi)=1
k*pi=pi+pi*n - собственное значение
k=(pi+pi*n)/pi
y=с1*cos((pi+pi*n)/pi)x - собственная функция
правильно?

Кроме того, прежде чем делить на что-то,нужно посмотреть,не равняется ли это что-то нулю.

-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*c1
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)+k*c1=0
k*c1*(-sin^2(k*pi)-cos^2(k*pi)+1)=0
k*c1=0

и почему -k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*c1, в условии дано y'(pi)=0, значит y'(pi)=-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=0

Потому что sin^2+cos^2=1.
Lutik, будьте внимательнее.

-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*c1
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)+k*c1=0 перенёс -k*c1
k*c1*(-sin^2(k*pi)-cos^2(k*pi)+1)=0 вынес -k*c1
k*c1=0

Не обязательно! Выражение в скобках уже равно 0.

это да k может быть любым числом, но почему приравняли к -k*c1, k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*c1
в начальном условии дано y'(pi)=0, производная равна y'=-k*c1*sin(kx)+k*c2*cos(kx)
y'(pi)=-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi)
и тогда -k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi)=0, вроде же так

Так,но
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*с1*(sin^2+cos^2)=-k*c1*1=-k*c1
Не приравняли,а выразили,потому что тут тригонометрическое тождество вылезло.

ясно теперь стало, что выразилось -k*c1 , а уравнение и функция тогда выглядит как?

из условия y'(pi)=0, -k*c1=0, как уже говорилось k не обязательно равно 0, уравнение и функция тогда как?

Lutik, сделайте всё ещё раз с начала. С толком и с расстановкой, не торопясь. А то Вы сами уже запутались.
Только при преобразованиях будьте внимательнее - прежде чем делить на что-то, рассмотрите случай,когда это что-то равно нулю.

Всё сначала
y''+(k^2)*y=0 если даны y(0)=y(pi) и y'(pi)=0
y=e^(Lx)
y''=(L^2)*e^(Lx)
(L^2)*e^(Lx)+(k^2)*e^(Lx)=0

(e^(Lx))*((L^2)+k^2)=0
L=+-ki
y=c1*cos(kx)+c2*sin(kx)

y(0)=y(pi)
y(0)=c1
y(pi)=c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)
c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)=c1
c2=((-c1*(cos(k*pi)-1))/sin(k*pi))

y'(pi)=0
y'=-k*c1*sin(kx)+k*c2*cos(kx)
y'(pi)=-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi)
-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi)=0
подставляя с2
-k*c1*sin(k*pi)+k*((-c1*(cos(k*pi)-1))/sin(k*pi))*cos(k*pi)=0
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*c1*cos^2(k*pi)+k*c1cos(k*pi)=0
тогда выделенное равно 1
-1+k*c1cos(k*pi)=0
k*c1cos(k*pi)=1
k*pi=pi+pi*n
k=(pi+pi*n)/pi - собственное значение

подставив в cos получится собственная функция

Выделенное равно -k*c1.
Кроме того, всё, что Вы тут написали, верно, если только sin(k*pi)!=0. А если sin(k*pi)=0, что будет тогда?

если k может быть любым числом, то sin не равен 0 или нужно решить уравнение sin(k*pi)=0, k=(pi+pi*n)/pi
после сложения sin и cos получается
-k*c1+k*c1cos(k*pi)=0
k*c1*cos(k*pi)=k*c1
cos(k*pi)=1
так?

Выражение y(0)=y(pi) может выполнеяться при некоторых значениях k для любых с1 и с2 - нужно отдельно рассмотреть этот случай.
c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)=c1
с1*(1-cos(k*pi))=c2*sin(k*pi)
c1*2*sin(k*pi/2)*sin(k*pi/2)=c2*2*sin(k*pi/2)*cos(k*pi/2)
sin(k*pi/2)*(c1*sin(k*pi/2)-c2*cos(k*pi/2))=0
Отсюда либо первый множитель равен нулю - найдёте k, подставите в выражение y'(pi)=0 и посмотрите,что получится, либо вторая скобка равна нулю - тогда нужно выражать с1 через с2(или наоборот) и подставлять в выражение для производной.

(с1*(1-cos(k*pi))=c2*sin(k*pi) => c1*2*sin(k*pi/2)*sin(k*pi/2)=c2*2*sin(k*pi/2)*cos(k*pi/2) воспользовались формулой половинных углов?)

если sin(k*pi/2)=0, то
k*pi/2=pi+pi*n
k=(2*(pi+pi*n))/pi

если (c1*sin(k*pi/2)-c2*cos(k*pi/2))=0,
то с2=(-с1*sin(k*pi/2))/cos(k*pi/2)
подставляется в
y'(pi)=-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi), т.е
-k*c1*sin(k*pi)+k*(-с1*sin(k*pi/2))/cos(k*pi/2)*cos(k*pi)=0

Да.
Теперь записывайте выражение для y'(pi) c учётом этого и смотрите,что получится.

Неужели нельзя сразу нормально всё сделать, вместо того, чтобы на месте топтаться?

-2*n*c1*sin(2*n*pi)+2*n*c2*cos(2*n*pi)=0

-2*n*(c1*sin(2*n*pi)-c2*cos(2*n*pi))=0

Рассеянность.

это точно

-k*c1*sin(k*pi)*cos(k*pi/2)+k*с1*sin(k*pi/2)*cos(k*pi)=0
-k*c1*(sin(k*pi)*cos(k*pi/2)-sin(k*pi/2)*cos(k*pi))=0

y'(pi)=-k*c1*sin(kx)+k*c2*cos(kx)

-2*n*c1*sin(2*n*pi)+2*n*c2*cos(2*n*pi)=0

-2*n*(c1*sin(2*n*pi)-c2*cos(2*n*pi))=0
n=0
или
c1*sin(2*n*pi)-c2*cos(2*n*pi)=0

c1=c2*cos(2*n*pi)/sin(2*n*pi)

c1=ctg(2*n*pi)
вроде так?

Если n-целое, значит sin(2*pi*n)=0, cos(2*pi*n)=1.

если не целое, то так как я сделал?

Оно не может быть не целым, это ведь продолжение решения, где было sin(k*pi/2)=0!

Да, точно.
Это рассмотрен случай 1, теперь нужен случай 2
sin(k*pi/2)*(c1*sin(k*pi/2)-c2*cos(k*pi/2))=0
c1*sin(k*pi/2)-c2*cos(k*pi/2)=0 тут выражем с1 или с2:
с2=с1*sin(k*pi/2)/cos(k*pi/2)

подставляем теперь в y'(pi)=-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi), т.е будет

-k*c1*sin(k*pi)*cos(k*pi/2)+k*с1*sin(k*pi/2)*cos(k*pi)=0
а дальше можно как-то упростить?

Вы ещё первый случай недорассмотрели - вот этот:
c1*sin(2*n*pi)-c2*cos(2*n*pi)=0, n-целое.

1 случай:
sin(2*pi*n)=0
2*pi*n=pi*t
n=t/2
t-целое число

cos(2*pi*n)=1
2*pi*n=2*pi*m
n=m - целое число

Lutik, я Вас сейчас пристрелю!
1)случай - sin(pi*k/2)=0 => k=2n, n - целое.
Условие на производную:
c1*sin(2*n*pi)-c2*cos(2*n*pi)=0
n целое -> sin(2*pi*n)=0, cos(2*pi*n)=1 -> c1*0-c2*1=0 -> c2=0;
y=c1*cos(kx)=c1*cos(2*n*x)
Отдельно стоит рассмотреть случай k=0 -> y''=0, y=c1*x+c2;
c1*0+c2=c1*pi+c2 -> c1=0;
y'=c1 -> y'(pi)=c1=0 -> y=0.
Теперь рассматривайте второй случай.

не надо, мне ещё надо дожить до сессии

Лучше пожелайте своему преподу, чтобы он не умер после Вашей сессии.

случай 2:
sin(k*pi/2)*(c1*sin(k*pi/2)-c2*cos(k*pi/2))=0
c1*sin(k*pi/2)-c2*cos(k*pi/2)=0 тут выражем с1 или с2:
с1=с2*cos(k*pi/2)/sin(k*pi/2)

подставляем теперь в y'(pi)=-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi), т.е будет

-k*c2*sin(k*pi)*cos(k*pi/2)+k*с2*sin(k*pi/2)*cos(k*pi)=0
я перобразовал это уравнение, если по формулам половинных углов преобразовать
sin(k*pi)=2*sin(k*pi/2)
cos(k*pi)=cos^2(k*pi/2)-sin^2(k*pi/2)

получилось
-k*c2*cos(k*pi/2)*2*sin(k*pi/2)*cos(k*pi/2)+k*c2*(cos^2(k*pi/2)-sin^2(k*pi/2))*sin(k*pi/2)=0

-k*c2*cos^2(k*pi/2)*2*sin(k*pi/2)+k*c2*cos^2(k*pi/2)*sin^2(k*pi/2)-k*c2*sin^3(k*pi/2)=0


-k*c2*cos^2(k*pi/2)*sin(k*pi/2)-k*c2*sin^3(k*pi/2)=0
k*c2*(-cos^2(k*pi/2)-sin^2(k*pi/2))=0
k*c2*(-1)=0
опять не то наверно

Вот,как ни странно, теперь самое то.

Ура!
Теперь с2=0
и найти собственную функцию.

Собственная функция:у=c1*cos(2*n*x) ?

Тогда получается, что собственная функция:у=c1*cos(2*n*x) найдена правильно?

Да.Ещё решением будет y=0.

Спасибо большое за помощь и терпение!

Своих препов в институте поблагодарить не забудьте