(с1*(1-cos(k*pi))=c2*sin(k*pi) => c1*2*sin(k*pi/2)*sin(k*pi/2)=c2*2*sin(k*pi/2)*cos(k*pi/2) воспользовались формулой половинных углов?)

если sin(k*pi/2)=0, то
k*pi/2=pi+pi*n
k=(2*(pi+pi*n))/pi

если (c1*sin(k*pi/2)-c2*cos(k*pi/2))=0,
то с2=(-с1*sin(k*pi/2))/cos(k*pi/2)
подставляется в
y'(pi)=-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi), т.е
-k*c1*sin(k*pi)+k*(-с1*sin(k*pi/2))/cos(k*pi/2)*cos(k*pi)=0