Здравствуйте!
Нужно исследовать на равномерную сх-ть: сумма от n=1 до оо (x^(n) - x^(2n)), 0<=x<=1.
Чему равно Sn(x) и как ее искать? Заранее спасибо за помощь!

Sn(x) имеет вид разности сумм двух геометрических прогрессий. Для каждой суммы есть формула.

Теорема: {Fn(x)} - фукц-ая послед-ть сходится равномерно на множ-ве Х=[0,...,1] <=>

lim sup |Fn(x)-F(x)| =0, при n->∞, для всех х из Х, где: F(x) = lim Fn(x), при n->∞.

Алгоритм:

1. F(x) = lim Fn(x) = lim (x^n - x^(2n)) при n->∞.

2. Найти x из Х, при которых |Fn(x)-F(x)| -> max, это и есть sup |Fn(x)-F(x)| на Х. С помощью производной исследуем Fn(x)-F(x) на мах, подставляем этот х в |Fn(x)-F(x)| и ищем lim.

3. Применяем Теорему.

Итак:

1. F(x)=0

2. х=1/2^(1/n), sup |Fn(x)-F(x)| = |Fn(x)-F(x)| = 1/4

3. lim sup |Fn(x)-F(x)| = 1/4 не равен 0, при n->∞.

Значит сходится неравномерно (только по-точечно).

Всё бы хорошо, только у меня не функциональная посл-ть, а функциональный ряд.
Нужно находить Sn(x). Я нашла, дальше чё т не знаю как... Как-то слишком страшно находить |Sn(x)-S(x)| и еще к тому же sup...
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Практически пардон, не заметил,что это ряд.

Спасибо! Я посчитала Sn(x) и S(x). Решение выложено в этой теме в другом сообщении "Дата 9.4.2009, 17:35". Там есть пара вопросов, но ничего существенного это не привнесет.
Самое "веселое" - это равномерная сх-ть... По какой теореме или свойству лучше доказывать в этой задаче? Буду ОЧЕНЬ признательна за помощь!

Проверьте, давно не решал таких задач, да может и в преобразованиях ошибся.
Равномерная сходимость ряда по определению есть равном. сх-ть част. сумм.
Если я не ошибся, то получается так.
Sn(x) =
x*(x^n-1)*(x^(n+1)-1)/(1-x^2) при х из [0,1)
0 при х=1
Переходя к пределу, получим
S(x)=
x/(1-x^2) при х из [0,1)
0 при х=1

При этом видно, что S(х) разрывна в 1 (в отличие от Sn(x)).
Отсутствие равномерной сходимости ряда на ОТРЕЗКЕ [0,1] можно
доказать от противного. Если бы ряд сходился равномерно (а ряд состоит из непрерывных на [0,1] функций), то по соответствующей теореме (если я правильно вспоминаю) его сумма должна быть непрерывной на [0,1] - противоречие.
Проверьте.

Наверное, можно и непосредственно указать \epsilon>0 такое, что для любого N найдется n>N и x\in[0,1], что |S_n(x)-S(x)|>\epsilon (ну т.е. х и n явно указать. Ручки нет под рукой, а в уме не получается).
P.S. Всем привет

Неужели Nutik вернулась?!
Надеюсь, надолго?
Еще бы Lion дождаться!
И все дома.

Как вариант,для док-ва неравномерной сходимости ряда можно воспользоваться моим более ранним постом в этом же вопросе, где я показал неравномерную сход-сть функц-ой послед-ти: Fn(x)= x^n-x^2n. Было показано, что при x=1/2^(1/n): sup |Fn(x)-F(x)| = |Fn(x)-F(x)| = epcilon =1/4, т.е. остаток ряда не стремится к 0. Вроде так.

Да, есть такая теорема и на паре мы доказывали по этой теореме и аналитически с epsilon этим ужасным. У вас отличнейшая память! =) я эти теоремы благополучно забываю после коллка или экзамена. Сдам задачу по этой теореме... Если вернет и попросит аналитически - придется искать Epsilon. И еще не слишком очевидно что Sn(x) непрерывные. Я нарисовала) Как аналитически док-ть, что непрерывные на [0,1]? Спасибо за помощь!

Там только точка х=1 вызывает сомнение в непрерывности. Перейдите к пределу (по Лопиталю или нет) и убедитесь, что
lim(x->1-0) Sn(x)=0=S(0) - чтд (учтите, что n - целое и >=1)

Непрерывность Sn(x) очевидна, т.к. Sn(x) = ∑(x^n - x^2n) - это многочлен для каждого фикс-го n. Если непрерывность многочлена вызывает сомнение, то надо док-ть его непрерывность по общим правилам, через определение непрерывнности ф-ии: Коши, Гейне и т.д.

P.S. Кстати! Что означают сокращения: б.б., б.м. - бесконечно малая и большая???

Обозначим сумму ряда S(x), тогда
1) S(x)=x/(1-x^2) при 0<=x<1 - разность двух сходящихся геометрических прогрессий
2) S(1)=0, как сумма нулей

То есть S(x) - разрывна в точке x=1.

А если бы ряд сходился равномерно, то S(x) была бы непрерывна.

Да, конечно. Так проще.

Повторение - мать учения.

Спасибо огромное за ответы! Вроде и ряд не сложный, но вопросов...
"Не непрерывность" S(x) не вызывала вопросов, это очевидно!
За Sn(x) спасибо! =)

Конечно)

Понятно что в этом убедиться надо, есть теорема или определение ф-ии непрер в точке. Если вернет, то придется "убеждаться")

Thanks, thanks, thanks!

Не придется, так как

У-п-с не заметил, что venja уже написал.

Доказывать непрерывность Sn(x) вообще лишнее. Достаточно первого замечания, что