Дан ряд: знак суммы от 0 до бесконечности: дробь: в числителе x^n, в знаменателе (3^n)*(n+1).
Я нашла радиус сходимости, он равен 3, теперь необходимо исследовать на сходимость этот ряд в граничных точках это 3 и -3. Получились ряды: 1) в числит 1, в знам n+1
2) в числит -1, в знам n+1.
Есть предположение, что эти ряды расходятся, как гармонические, но может я ошибаюсь. и тогда область сходимости (-3;3)

При х=-3 ряд будет : (-1)^n/(n+1) - знакочередующийся ряд - сходится по признаку Лейбница.
При х=3 ряд будет : 1/(n+1) - положительный ряд - расходится -сравнить (в предельной форме) с гармоническим рядом.

Чуть добавлю: сходится условно.

Спасибо огромное всем! Буду надеяться, что в той части, которую я решила сама ошибок нет.

Здравствуйте ещё раз,Возникла проблема с доказательством того, что знакочередующийся ряд условно сходится по признаку Лейбница, а именно с доказательством того, что предел а n- го равен нулю.

А что у вас получается? Напишите подробнее.

Здравствуйте, у меня получается -1

это если a[n]=1/(3^n*(n+1))?

нет, это если а[n]=(-1)^n/(n+1)

А тогда как такой результат получается? (-1)^n принимает только два значения: -1 и 1, т.е. является ограниченной функцией; ф-ция n+1 при n->00 стремится к 00, т.е. получаем предел вида А/00! Чему он равен?

нулю..

В признаке Лейбница в качестве а[n] берется не а[n]=(-1)^n/(n+1),
а а[n]=1/(n+1).
Очевидно, что а[n]-->0.

Спасибо.

Да+замечание venja

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста, мне нужно найти область сходимости ряда.
При решении, я где-то, по-моему, допустила ошибку...
Я не вижу,как и что раскладывать дальше...

в вашем случае u[n]=1/(n+1)^(2n).
И при вычислении радиуса далее потеряли предел.

Воспользуйтесь радикальным признаком Коши.

lim (Un)^(1/n) = (x/(n+1))^2 =0<1
Вроде сходится при любом х.

Хм...в нашем учебнике Кремера,признак Коши не рассматривается(( только Даламбер((
или этот же признак называется по другому? Например "интегральный признак сходимости"?

Для установления сходимости, а также установления области сходимости Вы можете использовать и признак Даламбера, и радикальный признак Коши, и признак Раабе ....

если по признаку Даламбера, то мне Un все-таки брать 1/(n+1)^2n?
я просто решала так и у меня все равно ничего в итоге не сократилось(

итог: (n+2)^2n+2/x^2n+2*(n+1)^2n+2

...вот тут я не вижу что дальше
или снова ошиблась?

По-моему должно получиться следующее.
R=lim(n->00)(n+2)^(2n+2)/(n+1)^2n

угу....это получила, а дальше еще что-нибудь сокращается?

или что мне уже дальше делать?

дальше нужно найти полученный предел

который будет равен бесконечности, и тогда какой будет область сходимости,если R=00?
Получается тоже бесконечность?

Область сходимости степеного ряда - это интервал x є (-R, R). То есть в вашем случае...

т.е. в моем случае это x прин. (-00,00)

да, как говорилось выше, сходится при любом x

Спасибо всем большое за помощь

да, не прислушалась Driada сразу.


пожалуйста

Здесь все сложнее. То, что Вы написали в самом начале - вообще не то. В формуле для радиуса сходимости участву.т не сами слагаемые степенного ряда, а КОЭФФИЦИЕНТЫ при ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ (!) степенях х. Поэтому в выражениях для Un никаких иксов быть не должно (иначе сам предел будет зависеть от х, что полная ерунда). Но и брать



тоже неверно. Этот ряд СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ЧЕТНЫЕ СТЕПЕНИ х. Это означает, что коэффициенты при нечетных степенях равны 0. Поэтому использовать формулу для R, в которой содержится отношение Un/Un+1 , вообще нельзя, так как в последовательностьи {Un} через один стоят нули, а потому делить на них негоже.
Выходы. Можно предложить несколько способов решения.

1. Обозначить у=x^2 и получить уже обычный степенной ряд (коэфф-ты и при четных и нечетных степенях не равны 0) относительно у: сумма y^n/(n+1)^(2n). Тогда действительно для него справедлива формула для R с u[n]=1/(n+1)^(2n). Получите R=+00, а потому ряд сходится для всех чисел у, а потому и для всех чисел х (т.е. на всей числовой прямой).

2. Использовать ОБОБЩЕННЫЙ ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА для абсолютной сходимости-расходимости.
Считается предел отношения модулей самих слагаемых и смотрите, при каких х он будет меньше 1.

3. Записываете ряд в виде сумма {[x/(n+1)]^2}^n
При ЛЮБОМ ФИКСИРОВАННОМ х начиная с некоторого номера будет [x/(n+1)]^2 < с < 1.
Поэтому начиная с этого номера члены ряда будут меньше членов сходящейся геом. прогрессии сумма c^n, а потому исходный ряд сходится для ЛЮБОГО х.

Разбирайтесь. Логика не проста.

Приведите ряд, где подобные отступления от логики могут привести к ошибочному нахождению области сходимости.

я попробовала решить первым способом.....но что-то тоже не понимаю,что делать дальше

у меня получилось lim(n->00) (n+2)^(2n+2)/y(n+1)^2n

наверно неверно?

Вы, кажется, совсем не вникаете в то, что я написал. Как может под знаком предела оказаться у?
Я же писал:

"В формуле для радиуса сходимости участву.т не сами слагаемые степенного ряда, а КОЭФФИЦИЕНТЫ при ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ (!) степенях х. Поэтому в выражениях для Un никаких иксов быть не должно (иначе сам предел будет зависеть от х, что полная ерунда). "

При первом способе решения не должно быть никаких игреков.
Радиус сходимости действительно лучше (проще) искать не по формуле Даламбера, а Коши:

R=1/{lim (корень n-ой степени из u[n]}=1/{lim [1/(n+1)^2]}=1/0=+00

Поэтому ряд сходится по у на всей числовой прямой, а потому и для всех чисел х.



сумма x^(2n)/4^n

Нарушая логику, имеем:
По признаку Коши
(n везде в пределах стремиться к бесконечности)
lim (x^2/4) =x^2/4<1 (В ВУЗЕ нам говорили, что при вычислении предела условьтесь, что x=const!!! ????) -2<x-2
При x=-2, имеем SUM (-1)^2n, который расходится
При x=2, имеем SUM (1)^2n, который расходится
Область сходимости -2<x<2


Если делать через радиус сходимости, то будет "подводный камень"
R=lim(1/(1/4))=4 ....... со всеми вытекающими.

Именно об этом я и говорил.
Это и есть метод под номером 2, только использует он не признак Даламбера, а Коши.

А когда задача решается поиском радиуса сходимости, то выплывет этот "подводный камень".

Простите за вопрос, тут я немножко не понимаю (просто мы не разбирали формулы Коши), если мы свободно использовали формулу Коши R=1/lim корень n-ой степени из Un , то откуда у нас "у"?

Берем Ваш ряд x^(2n)/(n+1)^2n, дальше вводим новую переменную x^2=y, тогда получаем новый ряд y^n/(n+1)^2n
Теперь находите область сходимости Вашего ряда yє(...; ....)
Дальше нужно возвратиться к xє(....;....) .

Большое спасибо