Найти общее и частное решение уд-щее нач условиям
y'+4y=sin2x+1, y(0)=1/4, y'(0)=0.
y'+4y=0
y'=4y
y=e^(-4x)
Частное решение находим по формуле
y=u(x)e^(-4x)
U'=(sin2x+1)e^(-4x)
а дальше не знаю что сделать

минус не дописали

y=Сe^(-4x)
Может дальше методом вариации произвольной постоянной?

лучше через подстановку y=uv

А это как?

Вот так

Воспользуемся методом вариации произвольной постоянной
y=ce^(-4x)
подставляем в исходное уравнение, получаем
c'e^(-4x)-4ce^(-4x)+4ce^(-4x)=sin2x+1
c'e^(-4x)=sin2x+1
c'=(sin2x+1)/e^(-4x) пока так?


Честное слово смотрела, но заблудилась

Где именно?

Пишу до куда дошла
y'+4y=sin2x+1
y=uv
y'=u'v+uv'
u'v+uv'+4uv=sin2x+1
u'v+u(v'+4v)=sin2x+1
Пусть
v'+4v=0. Тогда
v=e^(-4x)
А дальше что делать?

Если v'+4v=0, тогда уравнение какой вид принимает?

u'e^(-4x)+0=sin2x+1

теперь u находите

Ну подстановка вроде бы идет
e^(-4x)u'=sin2x+1
u'=(sin2x+1)/e^(-4x)
А дальше все ТОРМОЗ!!!!!

u'=(sin2x+1)e^(4x)
Дальше по частям (когда разделите переменные и перейдете к интегралам)

Тогда дальше так:
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
и что-то ерунда дальше
u=sin2x dv=(e^(-4x)dv)
du=2cos(2x)dx v=-1/4(e^(-4x)
S...=-sin2x*1/4 (e^(-4x))+1/2Scos2xe^(-4x)dx
и так до бесконечности..... Где я ошиблась?

не до бесконечности, еще раз по частям, а потом выпишите
Ssin2xe^(-4x)dx=...


Посмотрите пример здесь, перед мнемоническим правилом.

я все внимательно посмотрела и только одного не понимаю, как же я найду потом из этого всего u!

u=S(sin2x+1)e^(-4x)dx
Или не про это u речь идет?

S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
.......=I1=-1/2*e^(-4x)cos2x+2I2
I2=1/2*e^(-4x)sin2x-2I1
а u то как искать?

Ssin2xe^(-4x)dx=-sin2xe^(-4x)/4+1/2*int(e^(-4x)cos2x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8-1/4int(e^(-4x)sin2x)dx
Т.е.
Ssin2xe^(-4x)dx+1/4int(e^(-4x)sin2x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8
5/4Ssin2xe^(-4x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8
Ssin2xe^(-4x)dx=4/5*(-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8)

Я сейчас все решение в одном месте соберу, а то что-то такие "дрова" получаются
y'+4y=sin2x+1
y=uv
y'=u'v+uv'
u'v+uv'+4uv=sin2x+1
u'v+u(v'+4v)=sin2x+1
Пусть
v'+4v=0. Тогда
v=Сe^(-4x)
а значит
u'e^(-4x)+0=sin2x+1
Так неужели дальше все вот это
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
u=sin2x dv=(e^(-4x)dv)
du=2cos(2x)dx v=-1/4(e^(-4x)
S...=-sin2x*1/4 (e^(-4x))+1/2Scos2xe^(-4x)dx
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
.......=I1=-1/2*e^(-4x)cos2x+2I2
I2=1/2*e^(-4x)sin2x-2I1



А это вообще не поняла!

Что именно не понятно?

Откуда такие коэффициенты?
5/4, .../8.


Ssin2xe^(-4x)dx=4/5*(-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8)= -e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x), т.е.
u=-e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x)
Общее решение исходного уравнения
y=-e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x)*c*e^(-4x)
А теперь надо подставлять начальные условия, чтобы найти частное решение?

Я смотрю там у вас проблемы с интегрированием. Вычислять интеграл Вы будете долго пока не наткнетесь на свою ошибку. Тогда предлагаю возвратиться к первой вашей записи.

Решение уравнения ищите в виде y=Сe^(-4x)+yч

yч=A+Bcos2x+Dsin2x (1)

теперь подставьте (1) в y'+4y=sin2x+1, приравняйте соответствующие коэффициенты Далее решите систему и найдите A, B, D

yч=A+Bcos2x+Dsin2x (1)
Простите, а что такое УЧ? И куда в y'+4y=sin2x+1 я его должна подставить?Вместо чего?

Ясно. И здесь у Вас большой пробел. Тогда досчитывайте тот интеграл.

Всё ясно, что ничего не ясно!

Еще раз примените к интегралу формулу интегрирования по частям дважды. Запишите, что получилось. Будем тогда дальше смотреть и разбираться.

Уже все завтра надо сдавать, а тут никонца ни края.....и это только первый курс....

If we have two equations x + y = 10 and y - x = 2, we can use the method of substituting the equations to solve this system of equations.
https://www.topcasualarticlesandblogs.com