Откуда такие коэффициенты?
5/4, .../8.


Ssin2xe^(-4x)dx=4/5*(-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8)= -e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x), т.е.
u=-e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x)
Общее решение исходного уравнения
y=-e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x)*c*e^(-4x)
А теперь надо подставлять начальные условия, чтобы найти частное решение?

Я смотрю там у вас проблемы с интегрированием. Вычислять интеграл Вы будете долго пока не наткнетесь на свою ошибку. Тогда предлагаю возвратиться к первой вашей записи.

Решение уравнения ищите в виде y=Сe^(-4x)+yч

yч=A+Bcos2x+Dsin2x (1)

теперь подставьте (1) в y'+4y=sin2x+1, приравняйте соответствующие коэффициенты Далее решите систему и найдите A, B, D

yч=A+Bcos2x+Dsin2x (1)
Простите, а что такое УЧ? И куда в y'+4y=sin2x+1 я его должна подставить?Вместо чего?

Ясно. И здесь у Вас большой пробел. Тогда досчитывайте тот интеграл.

Всё ясно, что ничего не ясно!

Еще раз примените к интегралу формулу интегрирования по частям дважды. Запишите, что получилось. Будем тогда дальше смотреть и разбираться.

Уже все завтра надо сдавать, а тут никонца ни края.....и это только первый курс....

If we have two equations x + y = 10 and y - x = 2, we can use the method of substituting the equations to solve this system of equations.
https://www.topcasualarticlesandblogs.com