1) y=ln(1+y'^2)

я делал так e^y=1+y'^2 => y'=sqrt(e^y-1) => dy/sqrt(e^y-1) = dx Как брать интеграл незнаю и правильно ли я начал?

2) x=y'sqrt(y'^2+1)

Вариантов решения нет...
Кто знает как решить, отпишите пожалуйста...

А откуда взяты эти примеры?

Незнаю откуда... На листке было просто написанно...

Вроде правильно. Для вычисления интеграла сделайте замену sqrt(e^y-1)=t и все получится.

для решения интеграла воспользуйтесь подстановкой e^y-1 = t^2
Ответ: 2arctg( sqrt(e^y-1 ) )

Во втором задании возведите обе части ур-я в квадрат.

Там, наверное, надо еще + - дописать.

Возвел x^2=y'^2(y'^2+1) как дальше решать?

У меня возник вопрос: а зачем?

y'^4+y'^2-x^2=0
y'^2=p
Получаете квадратное уравнение
p^2+p-x^2=0
решаете его
p1,2=-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2
y'^2=-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2
y'=+- sqrt(-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2)
dy=+- sqrt(-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2) dx
дальше интегрируйте

Что то интеграл не могу взять забыл уже...
sqrt2 dy = +-sqrt (1+-sqrt(1-(2x)^2) dx
2dy=sqrt ( x+c+sin2x)
y=(sqrt ( x+c+sin2x))/2
Так ли?

Огромное сомнение на счет интегрирования...

1) y=ln(1+y'^2)

я делал так e^y=1+y'^2 => y'=sqrt(e^y-1) => dy/sqrt(e^y-1) = dx Как брать интеграл незнаю и правильно ли я начал?

Вроде правильно. Для вычисления интеграла сделайте замену sqrt(e^y-1)=t и все получится.

sqrt(e^y-1)=t => dt=2/sqrt(e^y-1) => 2dt/t^2=x+lnc => 2ln(e^y-1)=x+lnc =>

2ln(e^y-1) - lnc=x => (e^y-1)/c=x/2 => e^y-1=xc => y=ln(xc-1) Проверь если есть время... правильно ли я сосчитал... или нет... в dt сомнения...

подстановка 1+4x^2 = t^2

Дорешайте по подробней пожалуйста.. Я совсем запутался в интегрировании...

dy/sqrt(e^y-1) = dx

2arctg( sqrt(e^y-1 ) ) =x+C и все.

Если нужно выразить y, то y=ln { [tg( (x+C) /2)]^2 -1 }

Да нет, уж лучше Вы сами. А то я Вам сейчас решу и нарушу правила форума.

Не забудьте, что
dy=-sqrt(-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2) dx
y=int [ -sqrt(-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2) ] dx - постороннее решение, которое не будет удовлетворять уравнению. Его нужно отбросить и не считать

Вам нужно будет посчитать только

y=int [sqrt(-1/2 +[sqrt(1+4x^2)]/2) ] dx
y=int [sqrt(-1/2 - [sqrt(1+4x^2)]/2) ] dx

Метод решения уравнений типа x=f(y') и y=g(y') описан на стр. 25 http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf

Спасибо всем большое!