Задачи ЛВП…
Привет всем… Помогите пожалуйста…
Вот сначала несложная задача: выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми…(посмотрите, правильно ли я составил матрицу и рассуждения)
a1= (4,-5,2,6)
a2 =(2,-2,1,3)
a3=(6,-3,3,9)
a4=(4,-1,5,6)

Я сам вот как сделал…
Линейно зависимая система, если линейная комбинация равна 0, она не тривиальна…
Приравниваем линейную комбинацию к нулю…
A*a1+B*a2+C*a3+D*A4=0;
A вот матрица…
4 2 6 4 0
-5 -2 -3 -1 0
2 1 3 5 0
6 3 9 6 0
Я надеюсь, что я правильно думаю, проверьте плиз для меня этот пустяк важен…


А вот другая сложная задача
Она (номер 1305 из Проскурякова)…
Доказать, что если линейное подпространство Д пространства многочленов степени <=N
Содержит хотя бы один многочлен степени K для К=0,1,2,…р но не содержит многочленов степени k>p, то оно совпадает с подпространством Lp всех многочленов степени <= p...
Я в принципе не слабый студент(в плане учебы), просто Линал сложная вещь…
Я специально номер указал, мало ли кто где-нить её видел или решал …

Система векторов будет зависима только в том случае, когда определитеь, составленный из их координат, =0.

А матрица , у которой считаем , составленный из координат должен как выглядеть?
Все координаты каждого вектора записываются в строку или в столбец, по идее не имеет значения да?
Не могли бы пояснить, почему если определитель равен нулю то система
линейно зависима...(просто этого я еще не слышал)...
p.s помогите пожалуйста со второй, может быть у кого-хорошо с теоретической компонентой...

Все равно. Получаются максимум транспонированные квадратные матрицы, а их определители равны. Например, можно так:

4 -5 2 6
2 -2 1 3
6 -3 3 9
4 -1 5 6

Если определитель =0, то ранг r этой матрицы меньше 4, а потому (есть такая теорема) в матрице есть только r линейно-независимых строк (да и столбцов тоже), а потому в исходной системы векторов есть только r<4 линейно независимых, а потому вся система линейно зависима.

Просто мы еще ранг матрицы не прошли, а по-другому никак не проверишь да?

Ясно, что Д содержится в Lp. Докажем обратное включение. Пусть
P=a0+a1*x+a2*x^2+...+ap*x^p
произвольный элемент из Lp. Докажем, что Р принадлежит и Д. Для этого, очевидно, достаточно показать, что Д содержит все степени х (до р включительно), т.е. многочлены :
1, x, x^2,...,x^p.
Если это так, то в силу линейности Д оно будет содержать и их линейную комбинацию:
a0*1+a1*x+a2*x^2+...+ap*x^p
т.е. Р.
Итак, осталось доказать, что Д содержит все степени х (до р включительно), т.е. многочлены :
1, x, x^2,...,x^p.

1) по условию Д содержит некоторый многочлен Р0 степени 0, т.е. некоторое число а0 (не равное 0).
В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а0)*Р0 =1.
2)по условию Д содержит некоторый многочлен Р1 степени 1, т.е. Р1= а0 + а1*х (а1 не равно 0).
В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а1)*(Р1-а0*1) =х.
3)по условию Д содержит некоторый многочлен Р2 степени 2, т.е. Р2= а0 + а1*х +a2*x^2(а2 не равно 0). В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а2)*(Р2-а0*1-a1*x) =х^2.

И так далее - доберемся и до х^p.





Тогда можно так, как это делали Вы:

Линейно зависимая система, если линейная комбинация равна 0, она не тривиальна…
Приравниваем линейную комбинацию к нулю…
A*a1+B*a2+C*a3+D*A4=0;

Если расписать это равенство покоординатно, то получим ОДНОРОДНУЮ систему 4-х лин. уравнений с 4 неизвестными
A, B, C, D.
Если определитель ее не равен нулю, то у системы есть ЕДИНСТВЕННОЕ решение. А так как нулевое решение всегда есть у однородной системы, то других и не будет. А потому
А=0, B=0, C=0, D=0.

А еще никто не подскажет как считать определители неквадратных матриц, то я посмотрел по записям только квадратных считали...
например матрица
1 4 7
4 16 14
можно ли дописать единицы?

Если я правильно понимаю тогда , определитель матрицы однородной системы всегда будет равен нулю, так как последний столбец будет нулевой...(ведь в последнем столбце надо писать то что стоит в правой части системы...)

----------------------------------------------------------
мы утверждаем что сначала a0,a1,a1... не равны нулю, как это грамотно обосновать, извините за глупость (я понимаю, что если они равны нулю, то многочлен уже не будет многочленом данной степени)...

если они равны нулю, то многочлен уже не будет многочленом данной степени)...





Определитель системы - это определитель матрицы, составленной ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ (не путать с расширенной матрицей системы).

"Я в принципе не слабый студент(в плане учебы)"



Таковые не определены.
Не путать с минорами и алгебраическими дополнениями.

Странно, что после ответов не увидел ни одного "спасибо". Коробит.
Хотя привыкаешь. Хорошо, что большинство все-таки не такие.

Да, ну вы что спасибо огромное, venja, вы очень сильно мне помогли...(я просто так загружен был, что забыл элементарные правила поведения)...

Лады

Найти необходимое и достаточное условие того что множество решений СЛАУ рассматриваемых как матрицы-строки образуют подпространство матриц строк...
Если я правильно понимаю надо проверить условие замкнутости относительно
сложения и умножения на скаляр...
Но вот как это реализовать не представляю?
Вот к примеру
Имеем одну матрицу-строку, явл. решением СЛАУ
Имеем вторую ....
Рассмотрим их сложение, чтобы оно было задано, как я понимаю должны быть размерности одинаковы, а вот на большее фантазии не хватает....
Ведь суммой матриц-строк всегда будет матрица-строка...(т.е матрица тойже размерности)...

Получил.

Непонятно условие.

СЛАУ может либо не иметь решения (тогда и матрицы-то нет), либо иметь единственное решение (тогда вся матрица из одной строки), либо бесконечное (несчетное!) множество решений (Тогда матрица из бесконечного числа строк?).
Может быть просто вопрос состоит в том - когда множество решений образует подпространство в соответствующем арифметическом n-мерном пространстве (n- число неизвестных в системе).
На первый взгляд это может быть только в том случае, если система однородна (т.е. правые части ее =0). Для однородной системы известно (и это легко доказать), что множество ее решений образует подпространство.

Можно немного поподробнее... (если можно идею док-ва)...
Может я неправильно записал условие или еще что-нибудь.......

1. Решения однородной системы образует подпространство.

Доказательство: пусть
(*) a*x1+...+c*xn=0
произвольное уравнение однородной системы.
а) пусть х=(х1,...,хn) - решение,т.е. удовлетворяет (*). пусть р - произвольное число. Подставим р*х=(р*х1,...,р*xn) в (*):
a*р*x1+...+c*р*xn=р*(a*x1+...+c*xn)=р*0=0.
Поэтому р*х - тоже решение.
б) пусть х=(х1,...,хn), y=(y1,...,yn) - два решения системы(т.е. удовлетворяют (*)). Точно также доказывается, что x+y и x-y - тоже решения.
Поэтому множество решений - подпространство.

2. Обратно: если множество решений системы есть подпространство, то система однородна.
Доказательство. Пусть
(*) a*x1+...+c*xn=е
произвольное уравнение системы. Докажем, что е=0 (т.е. система однородна).

Пусть х=(х1,...,хn) - какое-либо решение,т.е. удовл. (*).
Тогда из линейности (-х)=(-х1,...,-хn) - тоже решение,т.е. удовл. (*).
Подставляя то и другое в (*), получим: е=-е,т.е. е=0. Ч.т.д.

Огромное спасибо venja