Ясно, что Д содержится в Lp. Докажем обратное включение. Пусть
P=a0+a1*x+a2*x^2+...+ap*x^p
произвольный элемент из Lp. Докажем, что Р принадлежит и Д. Для этого, очевидно, достаточно показать, что Д содержит все степени х (до р включительно), т.е. многочлены :
1, x, x^2,...,x^p.
Если это так, то в силу линейности Д оно будет содержать и их линейную комбинацию:
a0*1+a1*x+a2*x^2+...+ap*x^p
т.е. Р.
Итак, осталось доказать, что Д содержит все степени х (до р включительно), т.е. многочлены :
1, x, x^2,...,x^p.

1) по условию Д содержит некоторый многочлен Р0 степени 0, т.е. некоторое число а0 (не равное 0).
В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а0)*Р0 =1.
2)по условию Д содержит некоторый многочлен Р1 степени 1, т.е. Р1= а0 + а1*х (а1 не равно 0).
В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а1)*(Р1-а0*1) =х.
3)по условию Д содержит некоторый многочлен Р2 степени 2, т.е. Р2= а0 + а1*х +a2*x^2(а2 не равно 0). В силу линейности Д оно содержит и комбинацию (1/а2)*(Р2-а0*1-a1*x) =х^2.

И так далее - доберемся и до х^p.





Тогда можно так, как это делали Вы:

Линейно зависимая система, если линейная комбинация равна 0, она не тривиальна…
Приравниваем линейную комбинацию к нулю…
A*a1+B*a2+C*a3+D*A4=0;

Если расписать это равенство покоординатно, то получим ОДНОРОДНУЮ систему 4-х лин. уравнений с 4 неизвестными
A, B, C, D.
Если определитель ее не равен нулю, то у системы есть ЕДИНСТВЕННОЕ решение. А так как нулевое решение всегда есть у однородной системы, то других и не будет. А потому
А=0, B=0, C=0, D=0.