1. Решения однородной системы образует подпространство.

Доказательство: пусть
(*) a*x1+...+c*xn=0
произвольное уравнение однородной системы.
а) пусть х=(х1,...,хn) - решение,т.е. удовлетворяет (*). пусть р - произвольное число. Подставим р*х=(р*х1,...,р*xn) в (*):
a*р*x1+...+c*р*xn=р*(a*x1+...+c*xn)=р*0=0.
Поэтому р*х - тоже решение.
б) пусть х=(х1,...,хn), y=(y1,...,yn) - два решения системы(т.е. удовлетворяют (*)). Точно также доказывается, что x+y и x-y - тоже решения.
Поэтому множество решений - подпространство.

2. Обратно: если множество решений системы есть подпространство, то система однородна.
Доказательство. Пусть
(*) a*x1+...+c*xn=е
произвольное уравнение системы. Докажем, что е=0 (т.е. система однородна).

Пусть х=(х1,...,хn) - какое-либо решение,т.е. удовл. (*).
Тогда из линейности (-х)=(-х1,...,-хn) - тоже решение,т.е. удовл. (*).
Подставляя то и другое в (*), получим: е=-е,т.е. е=0. Ч.т.д.