Я уже давно не студент, не в теме, раньше такие легко щелкал, сейчас позабыл, помоги плиз. Спросил у одного стат. светилы знакномого, он сказал - спроси - любой студент решит

---

Имеется X улиток, которые ползут на какое-то определенное расстояние и они соревнуются между собой, кто будет первой. Имеются вероятности победы для каждой улитки p1,p2...pX. Нужно определить вероятность того, что улитка Z будет на 1) в интервале мест (скажем со второго на пятом месте) 2) на конкретном месте, скажем восьмом.

Спасибо!

Это в общем случае - желательно дать общее решение по нему.

Если нет времени - упрощаю задачку. Есть 9 улиток. Есть 9 вероятностей 25%, 20%, 15%, 15%, 10%, 5%, 4%, 3%, 3%. Какова вероятность того, что первая улитка будет второй? Четвертая будет третьей? Третья улитка будет в в интервале мест от 1 до 3?

Спасибо!

А Вы все-таки попросите знакомого светилу решить. Насчет любого студента он загнул. Думаю, просто светилo боялся погаснуть. Да и насчет себя раннего, возможно, Вы заблуждаетесь. Рад буду оказаться неправым.

Не думаю, что задача простая. Даны вероятности ПОБЕДЫ каждой улитки. Т.е. вероятности для каждай занять ПЕРВОЕ место. Определяют ли эти вероятности другие вероятности - занятие остальных мест? Может да (если уточнить условие), а может нет. Думаю, для этой задачи нужно придумать эквивалентную ей задачу на привычных объектах типа доставания разноцветных шаров. Но эквивалентность надо осознать. Будет ли задача эквивалентна, например, такой.

В корзине 100 шаров: 25 белых, 20 черных,...,3 зеленых. По одному наугад достают шары. После вынимания шара перед следующим выниманием убирают из корзины все шары того цвета, который только что достали. Какова вероятность, что при втором доставании вынут белый шар? И т.д.
Эквивалентная задача или нет?
Или я мудрю и задача действительно простая?

Я не знаю эквивалентна или нет этой задаче точно, но на 90% да, то есть если скажем улитка 1 выиграла, то это никак не влияет на шансы других улиток, то есть никак их успехи и неудачи не связаны друг с другом и не коррелируют между собой.

Даю точное решение предложенной задачи для 3х улиток.

1. Предполагаем, что время пробега каждой улитки имеет нормальный закон распределения.
Улитки, участвующие в забеге, должны иметь хорошую кондицию, т.е. не должно быть сходов с дистанции и т.п. Таким образом, улитки в забеге показывают, на что они на самом деле способны, но их результат имеет естественный разбег, который хорошо описывается именно нормальным распределением.

2. Предполагаем, что для каждой улитки известны параметры этого распределения - мат. ожидание mu и дисперсия s^2 (или стандартное отклонение s):

mu1 = 33
mu2 = 34
mu3 = 35

s1 = 5
s2 = 4
s3 = 7

3. Расчетные формулы для вероятностей различных комбинаций мест даны рисунке:



4. Результат расчета этих вероятностей таков:

p123 = 25.979% (1я улитка - 1 место, 2я улитка - 2 место, 3я улитка - 3 место)
p132 = 14.5448% (1я улитка - 1 место, 2я улитка - 3 место, 3я улитка - 2 место)
p213 = 18.6685% (1я улитка - 2 место, 2я улитка - 1 место, 3я улитка - 3 место)
p231 = 10.288% (1я улитка - 3 место, 2я улитка - 1 место, 3я улитка - 2 место)
p312 = 15.6814% (1я улитка - 2 место, 2я улитка - 3 место, 3я улитка - 1 место)
p321 = 14.8382% (1я улитка - 3 место, 2я улитка - 2 место, 3я улитка - 1 место)

Одну из вероятностей можно получить вычитанием из 1 суммы остальных.

5. Таким образом, вероятность занять 1 место для улиток:

1я улитка m11 = p123 + p132 = 40.5238%
2я улитка m12 = p213 + p231 = 28.9566%
3я улитка m13 = p312 + p321 = 30.5196%

Вероятность занять 2 место для улиток:

1я улитка m21 = p213 + p312 = 34.350%
2я улитка m22 = p123 + p321 = 40.8172%
3я улитка m23 = p132 + p231 = 24.8328%

Вероятность занять 3 место для улиток:

1я улитка m31 = p231 + p321 = 25.1263%
2я улитка m32 = p132 + p312 = 30.2262%
3я улитка m33 = p123 + p213 = 44.6476%

6. В общем случае, когда бегут Х улиток, требуется вычислить X!-1 X-кратных интегралов от X-мерной плотности нормального распределения. На моем компе один 4-кратный интеграл, подобный тем, что даны на рисунке, вычислялся в пакете Mathematica 5.0 минут 10. А их для 4х улиток надо всего 4!-1 = 23 штук или 230 минут ~ 4 часа машинного времени. Можно только догадываться, сколько понадобится времени для 6 улиток - там надо посчитать 6!-1=719 6-кратных интегралов! Подозреваю, что с такой задачей не справится ни один суперкомпьютер за разумное время.

7. Возможно, существует иное, более простое решение, но мне оно не известно.

8. В изначальной постановке задачи ProBettor'a даны лишь вероятности занять 1 место, а параметры распределения не известны. Здесь надо задаваться дополнительным предположением о равенстве всех дисперсий некоторой величине, что, вообще говоря, не соответствует действительности, так как у каждой улитки свой разбег результата пробега. Далее фиксируем mu1 на некотором (например, нулевом) уровне и с помощью нелинейной регрессии пытаемся получить mu2 и mu3. Для этого понадобится не менее 20 раз повторять процедуру, описанную в предыдущих пунктах. То есть гипотетический суперкомпьютер надо ускорить еще в 20 раз.

В приведенном примере с тремя улитками видно, что 3я улитка имеет чуть больше шансов попасть на 1 место, чем 2я, хотя средний результат 2й улитки лучше, чем у 3й. А все из-за того, что у 3й улитки большая дисперсия. Вывод таков, что без знания параметров распределения по каждой улитке результат подгонки mu1, mu2, mu3 (при равной дисперсии) с целью дальнейшего определения распределния других мест по методике п.3, 4, 5 будет весьма сомнительным. То есть в изначальной постановке задача ProBettor'a (со знанием лишь вероятностей занять 1 место) не имеет адекватного решения.

Надо набрать хотя бы минимальную статистику по каждой улитке, определить параметры распределений (mu1, s1), (mu2, s2), (mu3, s3) и считать вероятности и места по приведенным в пп. 3-5 формулам.

9. Слова о "легкой студенческой задачке" беру обратно - погорячился.

Кажется, я Вас все-таки задел. Извините, конечно, но по делу. Видите, сколько дополнительных предположений пришлось сделать. Выше я писал эквивалентную (по моему мнению) формулировку задачи. Возможно, ее решение проще. К сожалению, вникать сейчас нет времени.

2 Svetilo.
Спасибо большое! Видимо суть в "То есть в изначальной постановке задача ProBettor'a (со знанием лишь вероятностей занять 1 место) не имеет адекватного решения", так как слишком все сложно вышло...

Мне кажутся принятые предположения достаточно искусственными. Почему нормальное распределение? Для этого не вижу веских оснований. Почему именно стакими параметрами?
Далее, где Вы взяли задачу о 3-х улитках? Ее не было и данных этой задачи я не видел.

Посмотрим предлеженную задачу.



Я взял только первый вопрос.
Обозначим события
А - первая улитка пришла второй
В2 - вторая улитка пришла первой
.
.
.
В9 - девятая улитка пришла первой
Формула полной вероятности
Р(А)=Р(В2)*Р(А/В2)+...+Р(В9)*Р(А/В9)
Ясно, что Р(В2)=0.2,...,р(В9)=0.03
Перейдем к условным вероятностям. Посчитаем Р(А/В2).
Первой пришла вторая улитка. Какова же вероятность первой улитке обогнать обогнать остальных? То есть оказаться первой при условии, что вторая улитка не участвовала бы в соревновании?
В этом случае шансы (т.е. вероятности) оказаться первой для 1-ой, 3-й,4-й,...,9-ой улиток относятся как 25:15: 15: 10: 5: 4: 3: 3. Поэтому
Р(А/В2)=25/(25+15+ 15+ 10+ 5+ 4+ 3+ 3)= 25/80.
Аналогично Р(А/В3)=25/85, ..., Р(А/В9)=25/97
Теперь считайте.
Вроде так должно быть.

Остроумный ход! Но на самом деле не все так просто. Дело в том, выбытие из соревнований какой-либо улитки существенно сказывается на соотношении шансов остальных занять 1 место.

Покажу это на примере тех же трех улиток. Но дисперсию 2й улитки уменьшим до 1. Точные расчеты по приведенным выше интегральным формулам дают следующее распределение мест:

1 место

m11 = 43.5008%
m21 = 23.916%
m31 = 32.5442%

2 место

m12 = 29.9542%
m22 = 49.9848%
m32 = 20.022%

3 место

m13 = 26.506%
m23 = 26.0603%
m33 = 47.3948%

Получается, что в силу относительно малой дисперсии 2я улитка (со средним результатом) имеет гораздо больше шансов (~50%) занять 2е место, чем 1я или 3я. То есть 2е место для нее, как своего рода ниша в ряду мест. Если представить 2ю улитку неким роботом с нулевой дисперсией получаемого результата 34, то ее шансы занять 2е место будут еще выше.

А что же получится, если задавшись известными вероятностями занятия улитками 1 места (m11=43.5008%, m21=23.916%, m31=32.5442%), посчитаем вероятности занять 2е место по Вашей методике?

v12 = m21*m11/(1 - m21) + m31*m11/(1 - m31) = 34.661%
v22 = m11*m21/(1 - m11) + m31*m21/(1 - m31) = 29.9522%
v32 = m11*m31/(1 - m11) + m21*m31/(1 - m21) = 35.2869%

Чувствуете разницу? Особенно для 2й и 3й улиток. И дело здесь вовсе не в том, что в моем примере с тремя улитками было принято нормальное распределение. Любое другое адекватное для улиток распределение даст аналогичный результат. Как говорится, дисперсия решает все! Жаль, однако, что не удалось свести данную задачу к уровню "студенческой".

Все равно не понимаю этого решения. Черт с ним, пусть можно (хотя вопрос) предположить, что "время пробега каждой улитки имеет нормальный закон распределения". Но откуда Вы взяли эти данные:
mu1 = 33
mu2 = 34
mu3 = 35

s1 = 5
s2 = 4
s3 = 7

и как они согласуются с условием задачи? И где это условие для 3-х улиток? В каких единицах меряется матожидание (секунды?)? Задача в Вашей (пока не представленной) постановке как соотносится с предложенной изначально задачей? Естественно, что Ваш результат будет зависеть от назначенных (Вами же!) дисперсий. На мой взгляд, Вы решили Вами же поставленную задачу, а не ту, что была предложена ранее.
Считаю (простите за нескромность), что мое решение наиболее кооректно для исходной задачи.

Пример с тремя улитками взят по очевидной простой причине: задача с тремя улитками поддается точному решению за разумное время с помощью пакета Mathematica. На моем компьютере это заняло около 5 минут - как раз время перекура.

Исходные данные, естественно, подобраны по контексту задачи. Мат. ожидание измеряется в любых единицах - пусть это будут минуты, так как улитки - тихоходные существа.

Следует отметить, что величины mu можно одновременно сдвинуть на произвольную величину и результат при этом не изменится. То есть mu1=33, mu2=34, mu3=34 дает такой же результат, как и mu1=53, mu2=54, mu3=55.

И конечно, результат будет зависеть от "назначенных" дисперсий. Только их следует не "назначать", а определять из опыта.

Ваше решение для вероятностей вторых мест, как было показано на последнем примере с тремя улитками, весьма отличается от приведенного точного решения по интегральным формулам и поэтому не может быть верным и для 9 улиток.

Да как же можно сравнивать ответы в наших решениях? Ма решали РАЗНЫЕ задачи. И как Вы можете свое решение называть точным? Оно зависит от выбранных Вами же дисперсий (пусть их надо получать из опыта, но в условиит их нет, откуда они у Вас?), как же оно может быть названо точным? Возможео даже можно ПОДОБРАТЬ дисперсии так, что наши ответы совпадут, но это никак не мняет сути дела.

Мы не решали не разные, а аналогичные задачи, так как количество улиток не меняет сути и способа решения.

Вообще-то задача о распределении мест, как Вы понимаете, не простая. Тем более с 9 улитками. Почему же не взять меньшее количество улиток, чтобы ясно показать формулы и ход решения? Или надо было изобразить 9-кратные интегралы и сказать: извините, взять их не могу?

Говорите, разные задачи? Почему же? В примере с тремя улитками получаем вероятности распределения всех мест по интегральным формулам, берем вероятности только первых мест в качестве исходных данных (как в условии задачи) и пытаемся найти относительно простой способ получения всех остальных вероятностей, имея под рукой точный ответ. Имеется в виду такой простой способ, который позволил бы однозначно решить задачу с 9 улитками за разумное время.

Если Вы уже согласились с нормальным распределением ("черт с ним" - Ваши слова, хотя можно взять и любое другое, походящее для улиток), то Вы автоматически согласились с тем, что каким-то образом надо задавать его параметры - мат. ожидание и дисперсию. Да, действительно, в примере с тремя улитками эти параметры были заданы произвольно - но лишь для того, чтобы в числах можно было показать ход и результат решения и влияние на него заданных дисперсий.

Во втором примере с теми же тремя улитками дисперсия 2й улитки была намеренно уменьшена, чтобы показать несостоятельность предложенного Вами решения в общем случае. Вполне возможно, что в каких-то частных случаях, например, при всех дисперсиях, равных какой-нибудь константе, Ваши формулы дадут результат, недалекий от истины. Но устроит ли такой результат автора темы, решать ему же. По крайней мере, проверить его для 9 улиток никто не сможет. Разве что устроить натурные соревнования

Повторюсь еще раз. Данная задача в изначальной ее постановке (даны лишь вероятности занятия первых мест) не имеет однозначного решения.

Я говорил, чтомы решаем разные задачи НЕ ПОТОМУ, что мы рассматривали разное количество улиток. А потому, что я пытался решать ту задачу, которая и была изначально задана, используя только приведенные в ней данные. Вы же добавили к условию свои собственные данные - предположили нормальность распределения (и не соглашался я с ним, а отмечал, что если даже считать, что таковое имеет место, то где взять его параметры - их в условии нет, значит никаких предположений о нормальности делать и не надо) и сами же назначили его параметры. Естественно, Ваш ответ зависит от Вами же назначенных параметров. Я пытался использовать только вполне разумное предположение, что данные в условии вероятности одновременно определяют и СООТНОШЕНИЕ ШАНСОВ для ЛЮБОЙ пары улиток того, что одна из них обгонит (просто обгонит) другую. Считаю это вполне разумным и достоверным предположением, после которого задача решается ОДНОЗНАЧНО, прчем совсем без 9-кратных интегралов..

Да действительно, может быть не стоит очень уложнять...

Вопрос такой я себе задал "а что если убрать улитку номер 8, как изменятся вероятности занять места" и ответил себе, что по каким-то формулам точно можно найти ответ. Чисто умозрительно понятно, что все останется примерно как есть и вероятности на всех улиток просто чуть-чуть вырастут.

А что если взять 2 улитки, первую и четвертую, неужели нельзя как-то просто посчитать какие у них шансы друг против друга. У первой 25% от 100%, у второй 15% от 100%, значит видимо все просто выводится - пропорционально: 100%/40%=2.5; 2.5*25%=62.5% у первой и 2.5*15%=37.5% у второй - верно?

Может быть поможет уточнение в постановке задачи, что улитки просто себе ползут независимо друг от друга в разное время и соотношение вероятностей, которое я привел показывает их скорость скажем на расстоянии Z сантиметров. В общем, первая улитка в 25% случаев проползает Z сантиметров быстрее всех, ..., пятая в 10% случаев и тд

Согласен со всем.
Всем спасибо за интересное обсуждение .