1. Предполагаем, что время пробега каждой улитки имеет нормальный закон распределения.
Улитки, участвующие в забеге, должны иметь хорошую кондицию, т.е. не должно быть сходов с дистанции и т.п. Таким образом, улитки в забеге показывают, на что они на самом деле способны, но их результат имеет естественный разбег, который хорошо описывается именно нормальным распределением.
2. Предполагаем, что для каждой улитки известны параметры этого распределения - мат. ожидание mu и дисперсия s^2 (или стандартное отклонение s):
mu1 = 33
mu2 = 34
mu3 = 35
s1 = 5
s2 = 4
s3 = 7
3. Расчетные формулы для вероятностей различных комбинаций мест даны рисунке:
4. Результат расчета этих вероятностей таков:
p123 = 25.979% (1я улитка - 1 место, 2я улитка - 2 место, 3я улитка - 3 место)
p132 = 14.5448% (1я улитка - 1 место, 2я улитка - 3 место, 3я улитка - 2 место)
p213 = 18.6685% (1я улитка - 2 место, 2я улитка - 1 место, 3я улитка - 3 место)
p231 = 10.288% (1я улитка - 3 место, 2я улитка - 1 место, 3я улитка - 2 место)
p312 = 15.6814% (1я улитка - 2 место, 2я улитка - 3 место, 3я улитка - 1 место)
p321 = 14.8382% (1я улитка - 3 место, 2я улитка - 2 место, 3я улитка - 1 место)
Одну из вероятностей можно получить вычитанием из 1 суммы остальных.
5. Таким образом, вероятность занять 1 место для улиток:
1я улитка m11 = p123 + p132 = 40.5238%
2я улитка m12 = p213 + p231 = 28.9566%
3я улитка m13 = p312 + p321 = 30.5196%
Вероятность занять 2 место для улиток:
1я улитка m21 = p213 + p312 = 34.350%
2я улитка m22 = p123 + p321 = 40.8172%
3я улитка m23 = p132 + p231 = 24.8328%
Вероятность занять 3 место для улиток:
1я улитка m31 = p231 + p321 = 25.1263%
2я улитка m32 = p132 + p312 = 30.2262%
3я улитка m33 = p123 + p213 = 44.6476%
6. В общем случае, когда бегут Х улиток, требуется вычислить X!-1 X-кратных интегралов от X-мерной плотности нормального распределения. На моем компе один 4-кратный интеграл, подобный тем, что даны на рисунке, вычислялся в пакете Mathematica 5.0 минут 10. А их для 4х улиток надо всего 4!-1 = 23 штук или 230 минут ~ 4 часа машинного времени. Можно только догадываться, сколько понадобится времени для 6 улиток - там надо посчитать 6!-1=719 6-кратных интегралов! Подозреваю, что с такой задачей не справится ни один суперкомпьютер за разумное время.
7. Возможно, существует иное, более простое решение, но мне оно не известно.
8. В изначальной постановке задачи ProBettor'a даны лишь вероятности занять 1 место, а параметры распределения не известны. Здесь надо задаваться дополнительным предположением о равенстве всех дисперсий некоторой величине, что, вообще говоря, не соответствует действительности, так как у каждой улитки свой разбег результата пробега. Далее фиксируем mu1 на некотором (например, нулевом) уровне и с помощью нелинейной регрессии пытаемся получить mu2 и mu3. Для этого понадобится не менее 20 раз повторять процедуру, описанную в предыдущих пунктах. То есть гипотетический суперкомпьютер надо ускорить еще в 20 раз.
В приведенном примере с тремя улитками видно, что 3я улитка имеет чуть больше шансов попасть на 1 место, чем 2я, хотя средний результат 2й улитки лучше, чем у 3й. А все из-за того, что у 3й улитки большая дисперсия. Вывод таков, что без знания параметров распределения по каждой улитке результат подгонки mu1, mu2, mu3 (при равной дисперсии) с целью дальнейшего определения распределния других мест по методике п.3, 4, 5 будет весьма сомнительным. То есть в изначальной постановке задача ProBettor'a (со знанием лишь вероятностей занять 1 место) не имеет адекватного решения.
Надо набрать хотя бы минимальную статистику по каждой улитке, определить параметры распределений (mu1, s1), (mu2, s2), (mu3, s3) и считать вероятности и места по приведенным в пп. 3-5 формулам.
9. Слова о "легкой студенческой задачке" беру обратно - погорячился.
