Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь
Полная версия: Линейное пространство > Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Образовательный студенческий форум > Высшая математика > Линейная алгебра и аналитическая геометрия
sts96
Прошу помочь в решении.
Думаю, что нужно использовать аксиомы линейного пространства, но не знаю, как оформить.

Определить, будет ли линейным пространством относительно линейных операций над матрицами-строками множество всех строк, сумма всех элементов которых равна нулю.
tig81
Что делали? Что не получается?
Что называется линейным пространством? Какие аксиомы должны выполняться?
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 2:50) *

Что делали? Что не получается?
Что называется линейным пространством? Какие аксиомы должны выполняться?


Непустое множество V называется линейным пространством над полем F, если выполняются аксиомы линейного пространства.
Аксиомы линейного пространства практически совпадают со свойствами линейных операций над матрицами (сложение и умножение). Значит пространство будет линейным? Смущает фраза в задании "сумма всех элементов которых равна нулю".

Не судите строго за возможно глупые вопросы. Изучаю предмет сама, тяжело доходит, а спросить не у кого.
tig81
Цитата(sts96 @ 23.5.2011, 8:31) *

Непустое множество V называется линейным пространством над полем F, если выполняются аксиомы линейного пространства.
Аксиомы линейного пространства практически совпадают со свойствами линейных операций над матрицами (сложение и умножение).

Практически, но не одни и те же.
Цитата
Значит пространство будет линейным?

А вы их проверили, выполняются они для вашего множества?

Конкретно запишите аксиому, которую проверяете и запишите, что вы делали.
Как выглядит матрица-строка? Как записать, что сумма элементов строки равна нулю?
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 11:43) *

Практически, но не одни и те же.

А вы их проверили, выполняются они для вашего множества?

Конкретно запишите аксиому, которую проверяете и запишите, что вы делали.
Как выглядит матрица-строка? Как записать, что сумма элементов строки равна нулю?

возьмем,к примеру, 3 матрицы:
матрица-строка 1: а11+а12+а13+...а1n=0
матрица-строка 2: a21+a22+a23+...a2n=0
матрица-строка 3: а31+а32+а33+...а3n=0

мне кажется, что операции сложения будут выполняться (коммутативность, ассоциативность), а операции умножения нет.
tig81
Цитата(sts96 @ 23.5.2011, 9:48) *

возьмем,к примеру, 3 матрицы:
матрица-строка 1: а11+а12+а13+...а1n=0
матрица-строка 2: a21+a22+a23+...a2n=0
матрица-строка 3: а31+а32+а33+...а3n=0

Ну это не совсем матрицы-строки, а записано условие, которое должно для них выполняться.
Цитата
мне кажется, что операции сложения будут выполняться (коммутативность, ассоциативность), а операции умножения нет.

Вам кажется или вы это проверили?
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 12:54) *

Ну это не совсем матрицы-строки, а записано условие, которое должно для них выполняться.

Вам кажется или вы это проверили?


если я правильно поняла, то матрица-строка имеет одну строку и выглядит, например, так:
а1=(а11 а12 а12...а1n)

матрицы-строки нельзя умножить одну на другую, т.к. число строк одной матрицы не совпадает с числом столбцов другой матрицы.

tig81
Цитата(sts96 @ 23.5.2011, 10:05) *

если я правильно поняла, то матрица-строка имеет одну строку и выглядит, например, так:
а1=(а11 а12 а12...а1n)

Например, да. Либо А=(а1, а2,..., аn), чтобы не таскать по два индекса
Цитата
матрицы-строки нельзя умножить одну на другую, т.к. число строк одной матрицы не совпадает с числом столбцов другой матрицы.

Это какую аксиому вы хотите проверить?
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 13:08) *

Например, да. Либо А=(а1, а2,..., аn), чтобы не таскать по два индекса

Это какую аксиому вы хотите проверить?


видимо это вытащила из свойств линейных операций над матрицами....

сама себя уже запутала, и тему никак не могу понять....
tig81
Еще раз задаю вопрос, на который так и не получила ответ: какие аксиомы надо проверить? Конкретно их запишите.
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 13:23) *

Еще раз задаю вопрос, на который так и не получила ответ: какие аксиомы надо проверить? Конкретно их запишите.


1. x+y=y+x, для любых x,y принадлежащих ЛП (коммутативность сложения);
2. x+(y+z)=(x+y)+z, для любых x,y,z принадлежащих ЛП (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент 0 принадлежащий ЛП, что x+0=x для любого x придлежащего ЛП (существование нейтрального элемента относительно сложения);
4. для любого x принадлежащего ЛП существует такой элемент -x, принадлежащий ЛП, что x+(-x)=0 (существование противоположного элемента).
5. a(bx)=(ab)x (ассоциативность умножения на скаляр);
6. 1*x=x (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. (a+b )x=ax+bx (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. a(x+y)=ax+ay (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
tig81
Замечательно. Давайте теперь проверяйте для заданного множества.

П.С. Видите, свойства, в котором две строки надо перемножать, нет.
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 14:32) *

Замечательно. Давайте теперь проверяйте для заданного множества.

П.С. Видите, свойства, в котором две строки надо перемножать, нет.


под x,y,z подразумеваются элементы разных матриц?
tig81
Цитата(sts96 @ 23.5.2011, 11:47) *

под x,y,z подразумеваются элементы разных матриц?

Подразумеваются разные матрицы-строки.
Т.е.
Цитата
1. x+y=y+x, для любых x,y принадлежащих ЛП (коммутативность сложения);

Здесь х - матрица-строка, у которой сумма элементов равна 0;
у - матрица-строка, у которой сумма элементов равна 0.
Т.е. это элементы выше указанного вами вида.

П.С. Если словами сказать, то вам надо показать, что суммой двух матриц-строк, у которых сумма элементов равняется нулю, есть матрица-строка, сумма элементов которой равна 0.
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 14:58) *

Подразумеваются разные матрицы-строки.
Т.е.

Здесь х - матрица-строка, у которой сумма элементов равна 0;
у - матрица-строка, у которой сумма элементов равна 0.
Т.е. это элементы выше указанного вами вида.

П.С. Если словами сказать, то вам надо показать, что суммой двух матриц-строк, у которых сумма элементов равняется нулю, есть матрица-строка, сумма элементов которой равна 0.


это мне понятно. получается вторая аксиома аналогично. 3,4,6 тоже понятно как показать. а вот 5,7,8 не совсем понятно.
tig81
Цитата(sts96 @ 23.5.2011, 12:14) *

а вот 5,7,8 не совсем понятно.

Что там не понятно? Конкретно.
Цитата
5. a(bx)=(ab)x (ассоциативность умножения на скаляр);

a,b - это некоторые константы. Проверьте выполнение равенства.

П.С. А в 6 что получили?
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 15:17) *

Что там не понятно? Конкретно.

a,b - это некоторые константы. Проверьте выполнение равенства.

П.С. А в 6 что получили?


1*а1+1*а2+1*а3...+1*аn=a1+a2+a3+...an=0
tig81
Т.е. в качестве тождественного элемента выбираете строку (1, 1, 1,..., 1)? Но эта строка не является элементом рассматриваемого множества, т.к. сумма ее элементов е равна нулю.
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 15:34) *

Т.е. в качестве тождественного элемента выбираете строку (1, 1, 1,..., 1)? Но эта строка не является элементом рассматриваемого множества, т.к. сумма ее элементов е равна нулю.


если выбрать строку (1,-1,1...-1), тогда кол-во элементов матрицы-строки должно быть четным.
tig81
Цитата(sts96 @ 23.5.2011, 12:40) *

если выбрать строку (1,-1,1...-1), тогда кол-во элементов матрицы-строки должно быть четным.

Но у вас не сказано, какое n+ в таком случаем после умножения сумма элементов полученной матрицы-строки уже не будет равняться нулю.
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 15:52) *

Но у вас не сказано, какое n+ в таком случаем после умножения сумма элементов полученной матрицы-строки уже не будет равняться нулю.


не сказано. тогда получается, что аксиома 6 не выполняется и пространство не будет линейным. точнее будет выполняться только при условии, что количество элементов матрицы-строки п - четное.
tig81
Цитата(sts96 @ 23.5.2011, 12:53) *

тогда получается, что аксиома 6 не выполняется и пространство не будет линейным.

Ну то, что у вас не получилось для опредленной матриы, это еще не означает, что она не выполнялась. Возможно здесь имеется другой нейтральный элемент.
Цитата
точнее будет выполняться только при условии, что количество элементов матрицы-строки п - четное.

И в этом случае не будет выполняться.
sts96
Цитата(tig81 @ 23.5.2011, 19:13) *

Ну то, что у вас не получилось для опредленной матриы, это еще не означает, что она не выполнялась. Возможно здесь имеется другой нейтральный элемент.

И в этом случае не будет выполняться.


имеете ввиду нейтральный элемент - ноль?
граф Монте-Кристо
В 6й аксиоме единица должна принадлежать множеству действительных (а в общем случае - комплексных) чисел, а не быть элементом линейного пространства.
sts96
Цитата(граф Монте-Кристо @ 23.5.2011, 22:17) *

В 6й аксиоме единица должна принадлежать множеству действительных (а в общем случае - комплексных) чисел, а не быть элементом линейного пространства.


не понимаю, извините...
граф Монте-Кристо
Я говорю о том, что в аксиоме №6 необходимо показать существование такого числа, условно обозначенного как 1, что, при его умножении на любой элемент из Вашего линейного пространства этот элемент не меняется.
Другими словами, обычная единица вполне подойдёт
sts96
Цитата(граф Монте-Кристо @ 23.5.2011, 23:09) *

Я говорю о том, что в аксиоме №6 необходимо показать существование такого числа, условно обозначенного как 1, что, при его умножении на любой элемент из Вашего линейного пространства этот элемент не меняется.
Другими словами, обычная единица вполне подойдёт


я тоже думала, что единица подойдет, но мне сказали, что это неверно.
граф Монте-Кристо
Вам надо было сказать,что в качестве единицы Вы выбрали обычную единицу,а не строку (1,1,1,...1). Вообще-то, в линейных пространствах не определяется умножение элементов.
tig81
Цитата(граф Монте-Кристо @ 23.5.2011, 20:09) *

Я говорю о том, что в аксиоме №6 необходимо показать существование такого числа, условно обозначенного как 1, что, при его умножении на любой элемент из Вашего линейного пространства этот элемент не меняется.
Другими словами, обычная единица вполне подойдёт

Что-то зарешалась sad.gif
sts96
Цитата(граф Монте-Кристо @ 23.5.2011, 23:57) *

Вам надо было сказать,что в качестве единицы Вы выбрали обычную единицу,а не строку (1,1,1,...1). Вообще-то, в линейных пространствах не определяется умножение элементов.


т.е. получается что все-таки все аксиомы выполняются и пространство будет линейным?
граф Монте-Кристо
Да.
sts96
Цитата(граф Монте-Кристо @ 25.5.2011, 2:12) *

Да.


Спасибо за разъяснения.

Цитата(tig81 @ 24.5.2011, 0:33) *

Что-то зарешалась sad.gif


Спасибо за помощь в решении.
tig81
Удачи!
Рггу
Помогите провести проверку аксиом,ПОЖАЛУЙСТА!
граф Монте-Кристо
Что не получается?
Не пишите в старых темах, создавайте новые.
Это текстовая версия — только основной контент. Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, нажмите сюда.
Русская версия Invision Power Board © 2001-2024 Invision Power Services, Inc.