Дан ряд: знак суммы от 0 до бесконечности: дробь: в числителе x^n, в знаменателе (3^n)*(n+1).
Я нашла радиус сходимости, он равен 3, теперь необходимо исследовать на сходимость этот ряд в граничных точках это 3 и -3. Получились ряды: 1) в числит 1, в знам n+1
2) в числит -1, в знам n+1.
Есть предположение, что эти ряды расходятся, как гармонические, но может я ошибаюсь. и тогда область сходимости (-3;3)

Здесь все сложнее. То, что Вы написали в самом начале - вообще не то. В формуле для радиуса сходимости участву.т не сами слагаемые степенного ряда, а КОЭФФИЦИЕНТЫ при ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ (!) степенях х. Поэтому в выражениях для Un никаких иксов быть не должно (иначе сам предел будет зависеть от х, что полная ерунда). Но и брать



тоже неверно. Этот ряд СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ЧЕТНЫЕ СТЕПЕНИ х. Это означает, что коэффициенты при нечетных степенях равны 0. Поэтому использовать формулу для R, в которой содержится отношение Un/Un+1 , вообще нельзя, так как в последовательностьи {Un} через один стоят нули, а потому делить на них негоже.
Выходы. Можно предложить несколько способов решения.

1. Обозначить у=x^2 и получить уже обычный степенной ряд (коэфф-ты и при четных и нечетных степенях не равны 0) относительно у: сумма y^n/(n+1)^(2n). Тогда действительно для него справедлива формула для R с u[n]=1/(n+1)^(2n). Получите R=+00, а потому ряд сходится для всех чисел у, а потому и для всех чисел х (т.е. на всей числовой прямой).

2. Использовать ОБОБЩЕННЫЙ ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА для абсолютной сходимости-расходимости.
Считается предел отношения модулей самих слагаемых и смотрите, при каких х он будет меньше 1.

3. Записываете ряд в виде сумма {[x/(n+1)]^2}^n
При ЛЮБОМ ФИКСИРОВАННОМ х начиная с некоторого номера будет [x/(n+1)]^2 < с < 1.
Поэтому начиная с этого номера члены ряда будут меньше членов сходящейся геом. прогрессии сумма c^n, а потому исходный ряд сходится для ЛЮБОГО х.

Разбирайтесь. Логика не проста.

Приведите ряд, где подобные отступления от логики могут привести к ошибочному нахождению области сходимости.