Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Ряды _ Найти область сходимости степенного ряда
Автор: Amura 4.2.2008, 9:53
Дан ряд: знак суммы от 0 до бесконечности: дробь: в числителе x^n, в знаменателе (3^n)*(n+1).
Я нашла радиус сходимости, он равен 3, теперь необходимо исследовать на сходимость этот ряд в граничных точках это 3 и -3. Получились ряды: 1) в числит 1, в знам n+1
2) в числит -1, в знам n+1.
Есть предположение, что эти ряды расходятся, как гармонические, но может я ошибаюсь. и тогда область сходимости (-3;3)
Прикрепленные файлы
Doc1.doc ( 63.5 килобайт )
Кол-во скачиваний: 168
Автор: venja 4.2.2008, 10:07
При х=-3 ряд будет : (-1)^n/(n+1) - знакочередующийся ряд - сходится по признаку Лейбница.
При х=3 ряд будет : 1/(n+1) - положительный ряд - расходится -сравнить (в предельной форме) с гармоническим рядом.
Автор: Руководитель проекта 4.2.2008, 11:33
При х=-3 ряд будет : (-1)^n/(n+1) - знакочередующийся ряд - сходится по признаку Лейбница.
Чуть добавлю: сходится условно.
Автор: Amura 4.2.2008, 13:17
Спасибо огромное всем! Буду надеяться, что в той части, которую я решила сама ошибок нет.
Автор: Amura 4.2.2008, 18:00
Здравствуйте ещё раз,Возникла проблема с доказательством того, что знакочередующийся ряд условно сходится по признаку Лейбница, а именно с доказательством того, что предел а n- го равен нулю.
Автор: tig81 4.2.2008, 22:02
Здравствуйте ещё раз,Возникла проблема с доказательством того, что знакочередующийся ряд условно сходится по признаку Лейбница, а именно с доказательством того, что предел а n- го равен нулю.
А что у вас получается? Напишите подробнее.
Автор: Amura 5.2.2008, 6:58
Здравствуйте, у меня получается -1
Автор: tig81 5.2.2008, 7:19
Здравствуйте, у меня получается -1
это если a[n]=1/(3^n*(n+1))?
Автор: Amura 5.2.2008, 7:37
нет, это если а[n]=(-1)^n/(n+1)
Автор: tig81 5.2.2008, 7:41
нет, это если а[n]=(-1)^n/(n+1)
А тогда как такой результат получается? (-1)^n принимает только два значения: -1 и 1, т.е. является ограниченной функцией; ф-ция n+1 при n->00 стремится к 00, т.е. получаем предел вида А/00! Чему он равен?
Автор: Amura 5.2.2008, 7:46
нулю.. 
Автор: venja 5.2.2008, 8:36
В признаке Лейбница в качестве а[n] берется не а[n]=(-1)^n/(n+1),
а а[n]=1/(n+1).
Очевидно, что а[n]-->0.
Автор: Amura 5.2.2008, 12:13
Спасибо.
Автор: tig81 5.2.2008, 15:12
нулю..
Да+замечание venja
Автор: Driada 15.3.2008, 13:19
Здравствуйте.
Помогите пожалуйста, мне нужно найти область сходимости ряда.
При решении, я где-то, по-моему, допустила ошибку...
Я не вижу,как и что раскладывать дальше...
Эскизы прикрепленных изображений
Автор: tig81 15.3.2008, 13:30
Здравствуйте.
Помогите пожалуйста, мне нужно найти область сходимости ряда.
При решении, я где-то, по-моему, допустила ошибку...
Я не вижу,как и что раскладывать дальше...
в вашем случае u[n]=1/(n+1)^(2n).
И при вычислении радиуса далее потеряли предел.
Автор: Dimka 15.3.2008, 13:47
Воспользуйтесь радикальным признаком Коши.
lim (Un)^(1/n) = (x/(n+1))^2 =0<1
Вроде сходится при любом х.
Автор: Driada 15.3.2008, 14:10
Хм...в нашем учебнике Кремера,признак Коши не рассматривается(( только Даламбер((
или этот же признак называется по другому? Например "интегральный признак сходимости"?
Автор: Dimka 15.3.2008, 14:39
Для установления сходимости, а также установления области сходимости Вы можете использовать и признак Даламбера, и радикальный признак Коши, и признак Раабе ....
Автор: Driada 15.3.2008, 14:52
если по признаку Даламбера, то мне Un все-таки брать 1/(n+1)^2n?
я просто решала так и у меня все равно ничего в итоге не сократилось(
итог: (n+2)^2n+2/x^2n+2*(n+1)^2n+2
...вот тут я не вижу что дальше
или снова ошиблась?
Автор: tig81 15.3.2008, 15:09
если по признаку Даламбера, то мне Un все-таки брать 1/(n+1)^2n?
я просто решала так и у меня все равно ничего в итоге не сократилось(
итог: (n+2)^2n+2/x^2n+2*(n+1)^2n+2
...вот тут я не вижу что дальше
или снова ошиблась?
По-моему должно получиться следующее.
R=lim(n->00)(n+2)^(2n+2)/(n+1)^2n
Автор: Driada 15.3.2008, 15:49
По-моему должно получиться следующее.
R=lim(n->00)(n+2)^(2n+2)/(n+1)^2n
угу....это получила, а дальше еще что-нибудь сокращается?
или что мне уже дальше делать?
Автор: tig81 15.3.2008, 15:58
угу....это получила, а дальше еще что-нибудь сокращается?
или что мне уже дальше делать?
дальше нужно найти полученный предел
Автор: Driada 15.3.2008, 16:24
дальше нужно найти полученный предел
который будет равен бесконечности, и тогда какой будет область сходимости,если R=00?
Получается тоже бесконечность?
Автор: tig81 15.3.2008, 16:30
который будет равен бесконечности, и тогда какой будет область сходимости,если R=00?
Получается тоже бесконечность?
Область сходимости степеного ряда - это интервал x є (-R, R). То есть в вашем случае...
Автор: Driada 15.3.2008, 16:34
Область сходимости степеного ряда - это интервал x є (-R, R). То есть в вашем случае...
т.е. в моем случае это x прин. (-00,00)
Автор: Dimka 15.3.2008, 16:41
да, как говорилось выше, сходится при любом x
Автор: Driada 15.3.2008, 16:45
Спасибо всем большое за помощь 
Автор: tig81 15.3.2008, 16:53
да, как говорилось выше, сходится при любом x
да, не прислушалась Driada сразу.
Спасибо всем большое за помощь
пожалуйста
Автор: venja 15.3.2008, 19:05
Здесь все сложнее. То, что Вы написали в самом начале - вообще не то. В формуле для радиуса сходимости участву.т не сами слагаемые степенного ряда, а КОЭФФИЦИЕНТЫ при ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ (!) степенях х. Поэтому в выражениях для Un никаких иксов быть не должно (иначе сам предел будет зависеть от х, что полная ерунда). Но и брать
в вашем случае u[n]=1/(n+1)^(2n).
тоже неверно. Этот ряд СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ЧЕТНЫЕ СТЕПЕНИ х. Это означает, что коэффициенты при нечетных степенях равны 0. Поэтому использовать формулу для R, в которой содержится отношение Un/Un+1 , вообще нельзя, так как в последовательностьи {Un} через один стоят нули, а потому делить на них негоже.
Выходы. Можно предложить несколько способов решения.
1. Обозначить у=x^2 и получить уже обычный степенной ряд (коэфф-ты и при четных и нечетных степенях не равны 0) относительно у: сумма y^n/(n+1)^(2n). Тогда действительно для него справедлива формула для R с u[n]=1/(n+1)^(2n). Получите R=+00, а потому ряд сходится для всех чисел у, а потому и для всех чисел х (т.е. на всей числовой прямой).
2. Использовать ОБОБЩЕННЫЙ ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА для абсолютной сходимости-расходимости.
Считается предел отношения модулей самих слагаемых и смотрите, при каких х он будет меньше 1.
3. Записываете ряд в виде сумма {[x/(n+1)]^2}^n
При ЛЮБОМ ФИКСИРОВАННОМ х начиная с некоторого номера будет [x/(n+1)]^2 < с < 1.
Поэтому начиная с этого номера члены ряда будут меньше членов сходящейся геом. прогрессии сумма c^n, а потому исходный ряд сходится для ЛЮБОГО х.
Разбирайтесь. Логика не проста.
Автор: Dimka 15.3.2008, 20:35
Здесь все сложнее. То, что Вы написали в самом начале - вообще не то. В формуле для радиуса сходимости участву.т не сами слагаемые степенного ряда, а КОЭФФИЦИЕНТЫ при ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ (!) степенях х. Поэтому в выражениях для Un никаких иксов быть не должно (иначе сам предел будет зависеть от х, что полная ерунда). Но и брать
тоже неверно. Этот ряд СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ЧЕТНЫЕ СТЕПЕНИ х. Это означает, что коэффициенты при нечетных степенях равны 0. Поэтому использовать формулу для R, в которой содержится отношение Un/Un+1 , вообще нельзя, так как в последовательностьи {Un} через один стоят нули, а потому делить на них негоже.
Выходы. Можно предложить несколько способов решения.
1. Обозначить у=x^2 и получить уже обычный степенной ряд (коэфф-ты и при четных и нечетных степенях не равны 0) относительно у: сумма y^n/(n+1)^(2n). Тогда действительно для него справедлива формула для R с u[n]=1/(n+1)^(2n). Получите R=+00, а потому ряд сходится для всех чисел у, а потому и для всех чисел х (т.е. на всей числовой прямой).
2. Использовать ОБОБЩЕННЫЙ ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА для абсолютной сходимости-расходимости.
Считается предел отношения модулей самих слагаемых и смотрите, при каких х он будет меньше 1.
3. Записываете ряд в виде сумма {[x/(n+1)]^2}^n
При ЛЮБОМ ФИКСИРОВАННОМ х начиная с некоторого номера будет [x/(n+1)]^2 < с < 1.
Поэтому начиная с этого номера члены ряда будут меньше членов сходящейся геом. прогрессии сумма c^n, а потому исходный ряд сходится для ЛЮБОГО х.
Разбирайтесь. Логика не проста.
Приведите ряд, где подобные отступления от логики могут привести к ошибочному нахождению области сходимости.
Автор: Driada 15.3.2008, 21:56
Здесь все сложнее. То, что Вы написали в самом начале - вообще не то. В формуле для радиуса сходимости участву.т не сами слагаемые степенного ряда, а КОЭФФИЦИЕНТЫ при ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ (!) степенях х. Поэтому в выражениях для Un никаких иксов быть не должно (иначе сам предел будет зависеть от х, что полная ерунда). Но и брать
тоже неверно. Этот ряд СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ЧЕТНЫЕ СТЕПЕНИ х. Это означает, что коэффициенты при нечетных степенях равны 0. Поэтому использовать формулу для R, в которой содержится отношение Un/Un+1 , вообще нельзя, так как в последовательностьи {Un} через один стоят нули, а потому делить на них негоже.
Выходы. Можно предложить несколько способов решения.
1. Обозначить у=x^2 и получить уже обычный степенной ряд (коэфф-ты и при четных и нечетных степенях не равны 0) относительно у: сумма y^n/(n+1)^(2n). Тогда действительно для него справедлива формула для R с u[n]=1/(n+1)^(2n). Получите R=+00, а потому ряд сходится для всех чисел у, а потому и для всех чисел х (т.е. на всей числовой прямой).
2. Использовать ОБОБЩЕННЫЙ ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА для абсолютной сходимости-расходимости.
Считается предел отношения модулей самих слагаемых и смотрите, при каких х он будет меньше 1.
3. Записываете ряд в виде сумма {[x/(n+1)]^2}^n
При ЛЮБОМ ФИКСИРОВАННОМ х начиная с некоторого номера будет [x/(n+1)]^2 < с < 1.
Поэтому начиная с этого номера члены ряда будут меньше членов сходящейся геом. прогрессии сумма c^n, а потому исходный ряд сходится для ЛЮБОГО х.
Разбирайтесь. Логика не проста.
я попробовала решить первым способом.....но что-то тоже не понимаю,что делать дальше
у меня получилось lim(n->00) (n+2)^(2n+2)/y(n+1)^2n
наверно неверно?
Автор: venja 16.3.2008, 5:56
у меня получилось lim(n->00) (n+2)^(2n+2)/y(n+1)^2n
наверно неверно?
Вы, кажется, совсем не вникаете в то, что я написал. Как может под знаком предела оказаться у?
Я же писал:
"В формуле для радиуса сходимости участву.т не сами слагаемые степенного ряда, а КОЭФФИЦИЕНТЫ при ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ (!) степенях х. Поэтому в выражениях для Un никаких иксов быть не должно (иначе сам предел будет зависеть от х, что полная ерунда). "
При первом способе решения не должно быть никаких игреков.
Радиус сходимости действительно лучше (проще) искать не по формуле Даламбера, а Коши:
R=1/{lim (корень n-ой степени из u[n]}=1/{lim [1/(n+1)^2]}=1/0=+00
Поэтому ряд сходится по у на всей числовой прямой, а потому и для всех чисел х.
Приведите ряд, где подобные отступления от логики могут привести к ошибочному нахождению области сходимости.
сумма x^(2n)/4^n
Автор: Dimka 16.3.2008, 8:07
сумма x^(2n)/4^n
Нарушая логику, имеем:
По признаку Коши
(n везде в пределах стремиться к бесконечности)
lim (x^2/4) =x^2/4<1 (В ВУЗЕ нам говорили, что при вычислении предела условьтесь, что x=const!!! ????) -2<x-2
При x=-2, имеем SUM (-1)^2n, который расходится
При x=2, имеем SUM (1)^2n, который расходится
Область сходимости -2<x<2
Если делать через радиус сходимости, то будет "подводный камень"
R=lim(1/(1/4))=4 ....... со всеми вытекающими.
Автор: venja 16.3.2008, 12:18
Именно об этом я и говорил.
Это и есть метод под номером 2, только использует он не признак Даламбера, а Коши.
А когда задача решается поиском радиуса сходимости, то выплывет этот "подводный камень".
Автор: Driada 16.3.2008, 13:17
Радиус сходимости действительно лучше (проще) искать не по формуле Даламбера, а Коши:
R=1/{lim (корень n-ой степени из u[n]}=1/{lim [1/(n+1)^2]}=1/0=+00
Поэтому ряд сходится по у на всей числовой прямой, а потому и для всех чисел х.
Простите за вопрос, тут я немножко не понимаю (просто мы не разбирали формулы Коши), если мы свободно использовали формулу Коши R=1/lim корень n-ой степени из Un , то откуда у нас "у"?
Автор: Dimka 16.3.2008, 15:06
Берем Ваш ряд x^(2n)/(n+1)^2n, дальше вводим новую переменную x^2=y, тогда получаем новый ряд y^n/(n+1)^2n
Теперь находите область сходимости Вашего ряда yє(...; ....)
Дальше нужно возвратиться к xє(....;....) .
Автор: Driada 16.3.2008, 16:00
Большое спасибо
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)