Здравствуйте!
Приступила к следующему заданию и возникли сложности.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области D
z=x^2+xy-2 D:y=4x^2-4, y=0
Начала с того, что нашла
dz/dx=2x+1
dz/dy=1
дальше надо составить систему уравнений
2x+1=0
1=0 - Тут так будет? или y=1?
с точками не могу разобраться(( помогите, пожалуйста

dz/dy=x, а не dz/dy=1

тогда получается и dz/dx=2x+y
я нашла точки Р(-1/2;-3) и А(0;0)
чтоб работать дальше я попыталась построить график он будет ограничен линиями у=0 и параболой у=х^2-1, центр которой располагается по х (1;0)
как мне дальше находить наибольшее и наименьшее значения?

Как нашли Р(-1/2;-3) ?


откуда у=х^2-1 появилась?

2x+1=0 2x=-1 x=-1/2
x=0 x=0 x=0

y=4x^2-4
y=-3 при х=-1/2
у=-4 при х=0

у=4x^2-4 - разве нельзя на 4 разделить?
тогда получается, что парабола должна быть у=4x^2-4....

dz/dx=2x+y=0
dz/dy=x=0

x=0, y=0



можно, но тогда будет у/4=x^2-1, а не у=x^2-1

c параболой поняла.
а точки получились Р(0;-4) А(0;0).

а дальше что то не совсем соображу.
по идее надо построить оси координат и показать заданную область.
а уже там на отрезках смотреть в каких точках функция достигает наибольшего и наименьшего значения.... - это теоретически, а практически как - то туговато..

откройте задачник Рябушко, часть 2. Там есть примеры решения подобных задач.

вот, вроде что-то поняла...
чтоб было понятнее начну сначала:
dz/dx=2x+y
dz/dy=x
построила график центр которого (0;-4)
затем выбрала точки А(0;0) Р(0;-4) Е(1;0) М(2;12) и взяла произвольную, принадлежащую данной области D(1/2;0)
на отрезке ОР
у=0
z=x^2-2
x^2=2
x=(2)^1/2
На отрезке РМ:
y=4x^2-4
z=x^2+4x^3-4x-2
dz/dx(так было в учебнике)=12x^2+2x-4
D=196
x1=1/2
x2=-2/3 - не уд условию.
z(A)=0
z(P)=-2
z(E)=-1
z(D)=-7/4
z(M)=50
следовательно в точке P(0;-4) функция достигает наименьшего значения
в точке М(2;12) - наибольшего значения.
Теперь все верно? или опять ошиблась где-то?

Не поняла, зачем рассматривали эти точки?
А почему D(1/2;0) взяли такую, а не, например, D(-1/2;0)? Чем обоснован такой выбор?

потому что область D: у=4x^2-4 b y=0 если взять точку D(-1/2;0) то она то не будет принадлежать данной обдасти. А точки взяла, потому что когда мы на установочных лекциях были нам преподаватель так материал давала. Получается я все задание неверно сделала??

Вам надо исследовать заданную функцию на экстремум. И оставить те критические точки, которые принадлежат области.

если исследовать на экстремум z=x^2+xy-2 то получим
dz/dx=2x+y
dz/dy=x
откуда получим точку Р(0;-4) - других точек то нет....
и получается что
A=d^2z/dx^2=2
B=d^2z/dxdy=1
C=d^2z/dy^2=1
AC-B^2=1>0; A>0 - значит точка Р - точка минимума.
Адругие точки как искать? подскажите, пожалуйста

Это здесь не надо.
Теперь исследуете функцию на границах области.
Посмотрите примеры, много разбиралось на форуме.

вот:
Z(P)=-2
дальше при у=0
z=x^2-2
x1=2^1/2 x2=-(2)^1/2
т.М(2^1/2;0) т.N(-(2)^1/2;0)
z(M)=0
z(N)=0
при у=4x^2-4
z=x^2+4x^3-4x-2
dz/dx=12x^2+2x-2
D=196
x1=1/2 y=-3 т.К(1/2;-3)
x2=-2/3 y=-20/9 т.Е(-2/3;-20/9)
z(K)=-15/4
z(E)=-2/27

отсюда имеем, что наибольшее значение функция принимает в точке М и N, а наименьшее в точке К. я если честно с выбором точек запуталась, но то что ноль больше отр. числа это по моему верно, а с наименьшим значением, что то я подзапуталась. Теперь то верно?

Еще не увидела, где вы находите значение функции на концах отрезка.
Например, для у=0 хє[-1; 1], поэтому в этом случае еще надо найти z(-1), z(1). Аналогично и для дргих участков.
Посмотрите примеры

если делать по аналогии, то при у=4x^2-4 x принадлежит[-oo;-1]U[1;+oo]
и надо смотреть z(1)=-1,
z(-1)=-1, z(1)=-1 это при у=0 хє[-1; 1],

как получили пределы для х?

решила уравнение 4x^2-4>0 подумала наверное это неправильно мне надо lim найти?

Изобразите вашу область графически.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Т.е. имеем следующее:
1. у=0, хє[-1; 1]
2. у=4x^2-4, хє[-1; 1]
Вроде так.

да, это я осознала.
а вершинами насколько я понимаю и будут точки с координатами (-1;0), (0;-4), (1;0)
так всетаки получается, что M(2^1/2;0) N(-2^1/2;0)-наибольшее значение, а в точке(1/2;-3) - наименьшее?

скажите, пожалуйста, теперь то правильно?

вершинами чего?

Можете решение привести, а то считать не хочется.

при M(2^1/2;0)
z= (2^1/2)^2+0*2^1/2-2=2-2=0
при N(-2^1/2;0)-
z=(-(2^1/2))^2+0*(-2^1/2)-2=2-2=0
при К(1/2;-3)
z=1/4-3/2-2/1=-15/4=
при E(-2/3;-20/9)
z=4/9+(-2/3)*(-20/9)-2/1=4/9+40/27-2/1=-2/27
при Р(0;-4)
z=-2
вот значения функции в точках

z=x^2+xy-2, D: y=0, y=4x^2-4
dz/dx=2x+y=0
dz/dy=x=0
x=0,y=0, точка экстремума К(0,0) принадлежит D

А(-1,0), B(1,0)
На участке АВ (y=0) z=x^2-2, z'=2x=0, x=0, К(0,0)
z(A)=-1, z(K)=-2, z(B )=-1

На участке АСB (y=4x^2-4), z=x^2+x(4x^2-4)-2=x^2+4x^3-4x-2
z'=2x+12x^2-4=0, x1=1/2, x2=-2/3, y1=-3, y2=-20/9
M(1/2,-3) и N(-2/3,-20/9) принадлежат D
z(M)=-13/4, z(N)=-2/27

zmin=z(M)=z(1/2,-3)=-13/4
zmax=z(N)=z(-2/3,-20/9)=-2/27

спасибо большое!!!!
и...извините, пожалуйста, если вас замучала...