Беда пришла

I xarcsin ( 1 / x) dx

Задача: проинтегрировать, после чего продифферинцировать ответ и, разумеется, получить исходный интеграл..

с интегрированием я справляюсь:

u = arcsin (1/x) du = - 1/x^2 * 1/sqrt (1 - 1/x^2) dx

dv = xdx v = x^2 / 2

имеем:

x^2/2 arcsin (1/x) - I( -1/2 * 1/sqrt ( 1 - 1/x^2 ) dx )

итого: x^2/2 arcsin (1/x) + 1/2 arcsin (1/x) + C (1)

или : 1/2 ( arcsin (1/x) * (x^2 + 1) ) (2)

Все получилось здорово, но вот теперь дифференцируем (в данном случае вариант 2, про коэффициент 1/2 пока забываем) :

arcsin (1/x) * 2x + 1/sqrt (1 - 1/x^2) * -1/x^2 * (x^2 + 1)

2x arcsin (1/x) - (x^2 + 1) / ( x^2 * sqrt(1 - 1/x^2 ) )

Все, чтобы не делал, как бы ни упрощал - дробь остается. Помогите решить пожалуйста.

(1)
Вот с этого места поподробней.

Почему-то (arcsin (1/x))э=- 1/x^2 * 1/sqrt (1 - 1/x^2), но int( 1/sqrt ( 1 - 1/x^2 ) dx)=arcsin (1/x). Распишите, как брали интеграл.

Интеграл просто неправильно вычислен.

Да, vdu вычислил неправильно. В таблице имелся в виду x, а тут функция от x... подкажите какую подстановку нужно делать тогда: 1/x = sint^2(t) ?

Запишите вначале, какой интеграл получился. Упростите подынтегральную функцию, например, приведите подкоренное выражение к общему знаменателю.

гм, int( 1/sqrt ( 1 - 1/x^2 ) dx) = arcsin (1/x)

Просто посмотрел по таблице, там вроде I 1/sqrt ( a^2 - x^2 ) dx = (1/a) arcsin (x/a). Так и взял.


Не думал о таком. Попробую.

Нужно привести к общему знаменателю, выделить х^2 из под корня, а там видно будет.

В вашем интеграле х в знаменателе, а в табличном...? Интегралы похожи, но неидентичны.

Да решилось уже все Как всегда парился из-за своей невнимательности.

бывает...