I xarcsin ( 1 / x) dx
Задача: проинтегрировать, после чего продифферинцировать ответ и, разумеется, получить исходный интеграл..
с интегрированием я справляюсь:
u = arcsin (1/x) du = - 1/x^2 * 1/sqrt (1 - 1/x^2) dx
dv = xdx v = x^2 / 2
имеем:
x^2/2 arcsin (1/x) - I( -1/2 * 1/sqrt ( 1 - 1/x^2 ) dx )
итого: x^2/2 arcsin (1/x) + 1/2 arcsin (1/x) + C (1)
или : 1/2 ( arcsin (1/x) * (x^2 + 1) ) (2)
Все получилось здорово, но вот теперь дифференцируем (в данном случае вариант 2, про коэффициент 1/2 пока забываем) :
arcsin (1/x) * 2x + 1/sqrt (1 - 1/x^2) * -1/x^2 * (x^2 + 1)
2x arcsin (1/x) - (x^2 + 1) / ( x^2 * sqrt(1 - 1/x^2 ) )
Все, чтобы не делал, как бы ни упрощал - дробь остается. Помогите решить пожалуйста.