Доброго всем времени суток! Форумчане,помогите решить,плз. Найти радиус сходимости ряда от n= -∞ до +∞:

∑ (x^n)/(2*n^2). Обратите внимание, что пределы суммирования от -∞ до +∞.

В задании ничего не сказано про n=0, но я так полагаю, кроме n=0. Начал решать так: сначала разбил на два ряда, каждый от n=1 до +∞, затем объединил в один. Получилось так:

∑ (x^n)/(2*n^2) +∑ (x^(-n))/(2*n^2) = ∑ [x^n + x^(-n)]/(2*n^2). При нахождении R по Даламберу получил целое неравенство степени 2n. Чо с ним делать, ума не приложу. Может чего посоветуете?

Всем спасиб.

при n=0, Un=бесконечности. Расходится.

Это не степенной ряд.Это больше походит на ряд Лорана из ТФКП.
Надо разбить на 2 ряда, в ряде с отрицательными n сделать замену у=1/х, тогда он получится степенным. Найти области сходимости этих рядов, снова от у перейти к х, пересечь области сзодимости двух рядов.

Тут нужно каждый радикальным проверить. Один сходится при 0<|x|<=1, второй |x|>=1, значит вместе они сходятся только при |x|=1.

Гы, сложилось. Всем спасиб.

У Вас n меняется от -беск...беск. При x=1, n=0 un=беск. Ряд будет расходящимся.

Это оговорено автором в первом посте. И не бесконечность, а неопределённость

Почему?

Потому, что деление на ноль неопределено.

Бесконечность будет.
Возьмите несобственный интеграл 1/(2*y^2) при y=-беск...беск. условившись, что x^n =const. Получите бесконечность. Интеграл расходится. Соответственно ряд будет расходящимся при любых x.

Неопределено тогда, когда 1^(беск), 0/0, беск/беск, беск-беск.....

Вы путаете ноль и бесконечно малую величину.