Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь
Полная версия: Решить интегралы > Интегралы
Образовательный студенческий форум > Высшая математика > Интегралы
PCGAMER2005
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить данные интегралы:

1) int a^(x)*e^(x) dx
2)int ln^3(x)/sqrt(x^5) dx

Второй пытался решать методом замены ln^3(x)=y и далее решать через y, но ничего не получилось.
Насчёт первого, идей никаких нет, думал решать через U, dU, dV, V, но за что брать U и V не знаю.
Тема только недавно началась, хочется заранее понять принцип решения. Поэтому желательно кроме решения немного пояснений blush.gif И заодно подскажите пожайлуста литературу, для новичка, по интегралам.
Спасибо.
Тролль
Цитата(PCGAMER2005 @ 13.2.2009, 0:30) *

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить данные интегралы:

1) int a^(x)*e^(x) dx
2)int ln^3(x)/sqrt(x^5) dx

Второй пытался решать методом замены ln^3(x)=y и далее решать через y, но ничего не получилось.
Насчёт первого, идей никаких нет, думал решать через U, dU, dV, V, но за что брать U и V не знаю.
Тема только недавно началась, хочется заранее понять принцип решения. Поэтому желательно кроме решения немного пояснений blush.gif И заодно подскажите пожайлуста литературу, для новичка, по интегралам.
Спасибо.


1) I = int a^x * e^x dx = int a^x d(e^x) = a^x * e^x - int e^x d(a^x) =
= a^x * e^x - int e^x * a^x * ln a
Получаем, что
I = a^x * e^x - ln a * I => I = a^x * e^x/(1 + ln a)
2) Можно попробовать по частям
tig81
Цитата(PCGAMER2005 @ 12.2.2009, 23:30) *

1) int a^(x)*e^(x) dx

попробуйте один раз по частям, а затем решить уравнение относительно заданного интеграла. Вроде должно получиться. В качестве u обычно берется та функция, которая после дифференцирования упрощается. В данном случае, как по мне, существенной разницы нет.
Цитата
2)int ln^3(x)/sqrt(x^5) dx

первое, что пришло в голову почему-то, это три раза по частям. Хотя могу ошибаться. Попробуйте...
Руководитель проекта
1. Int((a^x)*(e^x))dx=Int((a*e)^x))dx=((a*e)^x))/ln(a*e)+C. Но можно и так как предложили уважаемые Тролль и tig81 smile.gif
2. Действительно 3 раза по частям.
tig81
Цитата(Руководитель проекта @ 13.2.2009, 7:06) *

1. Int((a^x)*(e^x))dx=Int((a*e)^x))dx=((a*e)^x))/ln(a*e)+C.

А у меня так почему-то не получилось?! bang.gif
Цитата
2. Действительно 3 раза по частям.

beer.gif
Руководитель проекта
Цитата(tig81 @ 13.2.2009, 9:57) *

А у меня так почему-то не получилось?! bang.gif

Конечно не получилось. По ночам спать надо, а не интегралы для нерадивых студентов решать smile.gif
tig81
Цитата(Руководитель проекта @ 13.2.2009, 13:01) *

Конечно не получилось. По ночам спать надо, а не интегралы для нерадивых студентов решать smile.gif

blush.gif В этом причину тоже видела, но все же...Да у нас и было то всего 23:51 smile.gif
Руководитель проекта
Цитата(tig81 @ 13.2.2009, 14:07) *

Да у нас и было то всего 23:51 smile.gif

Это тоже не утро cool.gif
tig81
согласна unsure.gif
PCGAMER2005
Спасибо всем за отзывчивость, насчёт первого всё ясно, а второй, как понять по частям?

т.е. по формуле int F(x)g(x)dx= F(x)G(x)- int f(x)G(x)dx
и как можно эту схему применять 3-раза?

т.е. каждый раз рассматривая последний интеграл?
Julia
Форммула интегрирования по частям: int [u * dv] = u*v - int [v * du]
И далее рассматриваете последний (собственно, он и единственный) интеграл.
PCGAMER2005
и рассматривать его 3-раза получается?
tig81
Цитата(PCGAMER2005 @ 14.2.2009, 11:29) *

...а второй, как понять по частям?
т.е. по формуле int F(x)g(x)dx= F(x)G(x)- int f(x)G(x)dx

Да практически, т.е.
Цитата(PCGAMER2005 @ 12.2.2009, 23:30) *

через U, dU, dV, V

Цитата
и как можно эту схему применять 3-раза?
т.е. каждый раз рассматривая последний интеграл?

каждый раз интеграл будет единственным, но верно, применять к интегралу формулу интегрирования по частям.
PCGAMER2005
ладно, сейчас попытаюсь, отпишусь о результатах)
tig81
ладно, пробуйте!
PCGAMER2005
Ещё вопрос, поясните пожалуйста вот этот момент:

I = a^x * e^x - ln a * I => I = a^x * e^x/(1 + ln a)

в первом, почему ln(a)*I ?
tig81
Цитата(PCGAMER2005 @ 14.2.2009, 13:04) *

Ещё вопрос, поясните пожалуйста вот этот момент:
I = a^x * e^x - ln a * I => I = a^x * e^x/(1 + ln a)в первом, почему ln(a)*I ?

Цитата(Тролль @ 12.2.2009, 23:45) *

1) I = int a^x * e^x dx = int a^x d(e^x) = a^x * e^x - int e^x d(a^x) =
= a^x * e^x - int e^x * a^x * ln a

Потому что int a^xdx=a^x*ln(a).
PCGAMER2005
Цитата(tig81 @ 14.2.2009, 11:24) *

Потому что int a^xdx=a^x*ln(a).


т.е. I=int (e^x)*(a^x) ?


так это понял, вот как мы это получили "=> I = a^x * e^x/(1 + ln a)"
tig81
Цитата(PCGAMER2005 @ 14.2.2009, 13:43) *

т.е. I=int (e^x)*(a^x)dx?

Ну вас, если я правильно поняла, интересовало, откуда логарифм взялся?! Или что?


Цитата(PCGAMER2005 @ 14.2.2009, 13:46) *

так это понял, вот как мы это получили "=> I = a^x * e^x/(1 + ln a)"

thumbsup.gif
PCGAMER2005
Да логарифм, и последнее "=> I = a^x * e^x/(1 + ln a)" - как мы это получили? выразили I ?
tig81
Цитата(PCGAMER2005 @ 14.2.2009, 14:08) *

I = a^x * e^x/(1 + ln a)" - как мы это получили? выразили I ?

Да из равенства
Цитата(Тролль @ 12.2.2009, 23:45) *

I = a^x * e^x - ln a * I


Руководитель проекта
Цитата(tig81 @ 14.2.2009, 14:24) *

Потому что int a^xdx=a^x*ln(a).

Int(a^x)dx=(a^x)/ln(a)+C smile.gif

P.S. Понимаю, что это опечатка, а не ошибка.
tig81
Цитата(Руководитель проекта @ 14.2.2009, 15:41) *

Int(a^x)dx=(a^x)/ln(a)+C smile.gif
P.S. Понимаю, что это опечатка, а не ошибка.

bang.gif
П.С. А что не очень понятно, что речь про производную?! bang.gif К чему там интеграл?! bang.gif
PCGAMER2005
Ну и ещё один вопрос)
ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))

верно?
tig81
Цитата(PCGAMER2005 @ 14.2.2009, 21:36) *

Ну и ещё один вопрос)
ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))верно?

Уже даже боюсь...а то опять какие-то новые формулы выдумаю...
Если I= int(a^x * e^x)dx, то ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))dx

А зачем вам это? smile.gif
PCGAMER2005
Цитата(tig81 @ 14.2.2009, 20:00) *

Уже даже боюсь...а то опять какие-то новые формулы выдумаю...
Если I= int(a^x * e^x)dx, то ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))dx

А зачем вам это? smile.gif


Это для собственного успокоения)

Огромное спасибо, буду обращаться ещё)
tig81
smile.gif
PCGAMER2005
Все снова здравствуйте,
новую тему создавать не хотел, решил продолжать беседу в старой, так вот, собстевенно насчёт второго, вот что у меня вышло:

-2*ln^3(x)/3*sqrt(x^3) - 4*ln^2(x)/3*sqrt(x^3) - 16*ln(x)/9*sqrt(x^3) + 32/27*sqrt(x^3)
я не уверен, что это правильный ответ.
Рассматривая каждый раз последний интеграл, брал за U - логарифм, потом рассматривая следующие интегралы выносил числа за интеград:
-2/3 и -4/3, в результате я получил см.выше

И тут ещё несколько интегралов нарыл, решить которые, я не смог:
1)int cos(x) dx/(sin^2(x))^1/3, в низу корень третей степени от синуса в квадрате.
2)int x^2*dx/(x^6+4) - предполагаю, что надо упростить под станд.формулу int dx/(x^2+a^2), только запутался как.
3)int (x^2-1)/(x^2+1) - думаю надо как-нибудь выделить целую часть.
4)int x*arctg(x) dx - вариант -интегрирование по частям.

Подскажите пожалуйста.
граф Монте-Кристо
1)Перейдите к новой переменной t = sin(x);
2)Замена t = x^3
3)В числителе добавьте и вычтите единицу,потом выделите целую часть
4)По частям,потом можно подстановкой Эйлера.
PCGAMER2005
Цитата(граф Монте-Кристо @ 17.2.2009, 13:38) *

1)Перейдите к новой переменной t = sin(x);
2)Замена t = x^3
3)В числителе добавьте и вычтите единицу,потом выделите целую часть
4)По частям,потом можно подстановкой Эйлера.


А что насчёт первого, правильно я получил?
граф Монте-Кристо
Цитата
-2*ln^3(x)/3*sqrt(x^3) - 4*ln^2(x)/3*sqrt(x^3) - 16*ln(x)/9*sqrt(x^3) - 32/27*sqrt(x^3)

По идее,так.
PCGAMER2005
1) А в числителе представить cos(x)=1-sin^2(x)?
И что дальше делать с (1-t^2)/t^2/3 ?
2)разве не на t=x^2 ? у меня же в числителе x^2
Далее t под диференциал и по формуле, а конце заменить t на x?
3)получаю int 1 - 2/(x^2+1) dx, а ответ x-2*arctg(x)+c
4)arctg(x)*x^2/2 - int x^2/(2+2*x^2) что можно дальше сделать?

Правильно или нет?
граф Монте-Кристо
Цитата
cos(x)=1-sin^2(x)

Это что-то новое.
Не надо ничего представлять,просто сделайте замену t=sin(x), найдите dt, подставьте и будет Вам счастье.
Цитата
разве не на t=x^2

Нет. x^2*dx = d(x^3)/3
Цитата
3)получаю int dx - int2/(x^2+1) dx

Дальше Сами.
Цитата
4)arctg(x)*x^2/2 - int x^2/(2+2*x^2) что можно дальше сделать?

Выделите целую часть.
Цитата
4)По частям,потом можно подстановкой Эйлера.

Прошу прощения,не нужно здесь Эйлера.
PCGAMER2005
с первым ступил)

значит так:
1)Ответ: 3*(sin(x))^1/3 + c
2)Ответ: 1/6*arctg(x^3/2) + c
3)Ответ: x-2*arctg(x)+c
вот только насчёт 4-ого немного не понял, подскажите пожалуйста
PCGAMER2005
насчёт 4-ого уже не надо, разобрался)

Спасибо, что помог с решением.
граф Монте-Кристо
На здоровье smile.gif
Это текстовая версия — только основной контент. Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, нажмите сюда.
Русская версия Invision Power Board © 2001-2024 Invision Power Services, Inc.