Найти область сходимости функционального ряда
((4^n)*sin^2n(x))/n^2

Я нашел радиус по формуле
R= lim|Un/Un+1|, то есть
R = lim [(4^n)*(n+1)^2]/[(n^2)*(4^n)*4] и в итоге получил R=1/4

А что потом делать с sin^2n?
Или так и будет -1/4<sinx<1/4???

((4^(n+1))*sin^2(n+1)(x))/(n+1)^2
lim______________________________ <1
((4^n)*sin^2n(x))/n^2
-должно быть так, чтобы ряд сходился (по признаку Даламбера)

lim... = 4* sin^2 (x) <1
-1/2<sinx<1/2
-П/6<x<П/6

Проще всего обозначить у=sin^2(x), тогда относительно у получится обычный степенной ряд

((4^n)*y^n/n^2
Его исследовать традиционно и получить
-1/4<y<1/4
и далее как у 'Black Ghost'



Забыли про периоды

Ах да... совсем забыл про периоды

Большое спасибо . Всё оказалось намного проще.
А вот с другим примером примерно тоже самое

[(x-4)^n^2]/n^(n+1)
Использовать признак Коши (радикальный) не получается т.к. не могу взять корень из n^(n+1)

Я нашел радиус как в прошлом примере он равен R=e
но возникает опять тот же вопрос
-е<x-4<e
или
-sqrt(e)<x-4<sqrt(e)

Здесь радиус так просто не найти. У этого степенного ряда почти все коэффициенты при степенях (х-4) равны 0. Не нуль только при степенях 1,4,9,16,... . Поэтому формулу для a(n) Вам не вывести (для того, чтобы потом искать R по Даламберу или Коши).

n^2 - весь в показателе степени?

Не понял вопроса.
Может я не понятно написал пример...
Повторюсь
в числителе ((x-4)^n)^2
а в знаменателе n^(n+1)

А если так попробывать?

Совсем запутали.
Если


то это означает, что в числителе ((x-4)^n)^2=(x-4)^(2n)=((x-4)^2)^n
.
Тогда обозначайте у=(x-4)^2
и получите относительно у обычный степенной ряд. Там можно строить Cn,...
В прикрепленном файле у Вас n^2 - весь в показателе степени.
Это сложнее. Тогда, как я писал, почти все Cn будут нулями, а не то, что Вы пишете.

Да у меня n^2 - весь в показателе степени.
И если,почти все Cn будут нулями, это следует, что ряд расходится на всей числовой оси?
Или пример не имеет решения?

Да нет, конечно. Просто пример нестандартный.
Попробуйте радикальный признак Коши. Исследуйте ряд из модулей
|Bn|=|x-4|^(n^2)/n^(n+1)

корень n-ой степени[|Bn|]=|x-4|^n/[n*корень n-ой степени(n)]
Теперь считайте предел в зависимомти от х и смотрите, когда он < 1 (там ряд сходится)

Большое Вам спасибо venja за помощь.