Интеграл зависит от праметра t, но главное - не получается разобраться с границами интегрирования:

Внутренний (по у) интеграл в своей нижней границе имеет функцию от х. Я так понимаю, надо разбить внешний интеграл (по х) на такие области интегрирования, на которых максимум определяется однозначно. Но это никак не получается. Приравниваю выражения, стоящие под знаком max, получаю параметрическое тригонометрическое уравнение sin(x)cos(x)+sin(x)=t, которое совсем не радует
Может надо как-то иначе? Какую-то хитрую замену? В принципе внутренний интеграл (первообразная) очевидна (арксинус), но арксинус от максимума тоже как-то не радует. И Фубини в углу курит уже вторую пачку... нервно ...

А не пробовали дифференцировать по параметру?
Может, и не получится... не знаю...

Это Вы о чем? 1. Что это даст? 2. Как это сделать под знаком максимума?

Ну от максимума тут избавиться можно - как Вы и хотели: найти эти области (пусть решения пока будут неявными), тогда два интеграла будут простыми, и останется один, у которого параметр будет в границах, но уже без максимума. Вот и его и продифф-ть. Зная начальные условия (а они-то просто находятся), из производной найти сам интеграл...
Но это так, план. Может, ничего хорошего и не выйдет. Просто некогда пока на бумажке попробовать.

Арксинус от максимума, кстати, сам по себе - тоже ничего особенно страшного, он же монотонный, так что максимум разве что в минимум превратиться. Но вот арксинус от второго аргумента - это действительно как-то непонятно что.

Гм...
1. остается проблема с неявными областями интегрирования,
2. второй интеграл после дифференцирования становится еще страшнее.

Откуда задание такое взяли? Что за нижняя граница? Почему там стоит неоднозначная функция?
В таких случаях все вопросы нужно не сюда писать, а своему преподу, выдавшему задание. Пусть прояснит.

Почему? она однозначная, вроде бы...


Но откуда задание все равно интересно

Что означает эта
max{-1; cosx-t/sinx} запись?

максимальное из этих двух чисел...
зависит от параметра, конечно... что неприятно

Там нижняя граница области интегрирования просто состоит из трех кусков - прямая у=-1, а посередине горбик (когда второй аргумент больше). И судя по границам для t, задание разумное.

Ну тогда исследуем функцию 2 переменных z=cosx-t/sinx на максимум и выбираем max{-1, zmax} так чтоли?

Нет, в этот момент и t и x уже зафиксированы. Просто их и подставляем.

Максимум равен второму аргументу как раз между корнями уравнения, которое написал автор вопроса в первом посте.

Дал преподаватель. Я уточнял все детали - условие именно такое. Интеграл не рядовой (не из сборника). Как стало известно из достоверного источника, ответ у этого крокодила вполне нормальный.


Угу.

а экспонента есть в ответе, не знаете?

Нету, хотя при желании все можно записать и через нее (Z=ln(exp(Z))).

Судя по графику max достигается при t=3sqrt(3)/4

Да, так и есть, но это просто мысли вслух или это может что-то дать для решения?

Отсюда и берется граница по t

Дмитрий (aka Dimasick), а на какую тему предположительно интеграл? Или в свободном полете совсем?
Вы упомянули Фубини - но и впрямь как-то не получается, я уж попробовала и тройной интеграл соорудить, и все там менять местами.
Судя по Вашей реакции на дифференцирование - тоже, наверное далеко (? или ничего не значит?)

Вы можете написать ответ?

"в свободном полете"

Далеко



Увы, я ответа не знаю

Забавный интеграл.
А в чем задание?
Получить выражение этого интеграла как явной функции от t?
Не уверен, что он выражается через элементарные функции.

Вот мои преобразования (надеюсь, в арифметике не ошибся).

Обозначим значение этого интеграла b(t). Тогда вычисляя интеграл по у, получим, что

b(t)=-int(0,pi) [arcsin(a(x,t))] dx,

где a(x,t)=max{-1,cosx-t/sinx}.

Теперь надо выяснить, на каких интервалах по х этот максимум равен (-1), а на каких cosx-t/sinx. Для этого на интервале (0,pi) решить неравенство
cosx-t/sinx > -1. Это неравенство равносильно

f(x)>t, где
f(x)=0.5*sin2x+sinx.

Исследуя функцию f(x) на интервале (0,pi), легко видеть, что она
на (0,pi/3) возрастает от 0 до 3*sqrt(3)/4, а затем снова убывает до 0 на (pi/3,pi).
Отсюда следует:
1)Для всех t из(0,3*sqrt(3)/4) уравнение f(x)=t имеет в интервале (0,pi)
ровно 2 корня по разные стороны от pi/3. Обозначим меньший и больший из них через a1(t) и a2(t) (не думаю, что эти корни находятся аналитически).
2) Тогда
a(x,t)=
а) (-1), если х из (0,a1(t)) и (a2(t),pi)
б) cosx-t/sinx, если х из (a1(t),a2(t)).

Тогда интеграл приводится к виду:

b(t)=0.5*(pi)^2+0.5*pi*[a1(t)-a2(t)]-int[a1(t),a2(t)] {arcsin(cosx-t/sinx)} dx.

Пока так. Не уверен, что можно дальше продвинуться аналитически. Численно - без проблем для любого t.

Да, до такого места я тоже доходила с по разным дорогам...
Потом пыталась последний интеграл продифференцировать по t, но ничего хорошего. В какой-то момент казалось, что при дифференцировании получалось что-то похожее, и я думала, что вылезет экспонента - но нет, говорят...
Может, тоже ошибалась где-то.

Да, именно.

И тем не менее это так.

Задача аналитическая, решение существует. Эти выкладки более-мене очевидны. Нужно что-то более "продвинутое". Спасибо за попытку.


Какие еще будут идеи?

Дмитрий, я еще раз попробую объяснить, что имею в виду под дифференцированием.
По сути дела, весь вопрос не в максимуме, а в том, как взять интеграл \int_{x_1(t)}^{x_2(t)} \int_{-1}^{\cos x-t/\sin x} \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}dx.
Если его с одной стороны брать по частям или какой-то заменой, а с другой дифференцировать по параметру, то какие-то вроде бы похожие вещи вылезают... И из этого как-то можно по идее диф. уравнение составить....
Просто никак не успеваю аккуратно сделать.
В любом случае спасибо за задачу ) Будут новости - напишите, интересно.

Буду еще думать, но если сможете найти время и дописать, будет здорово. У меня пока не выходит, хотя постоянно пытаюсь что-то придумать.

попробуйте пустить задачу на форум dxdy. Ттам много сильных преподавателей.

Я смотрела - там уже есть Но без ответа.

Еще идеи?

Отнесите свое задание своему преподу обратно. Высока вероятность того, что Ваш препод чё-то перепутал или перестарался.

Условие уточнялось несколько раз.
Какие еще идеи?