Забавный интеграл.
А в чем задание?
Получить выражение этого интеграла как явной функции от t?
Не уверен, что он выражается через элементарные функции.

Вот мои преобразования (надеюсь, в арифметике не ошибся).

Обозначим значение этого интеграла b(t). Тогда вычисляя интеграл по у, получим, что

b(t)=-int(0,pi) [arcsin(a(x,t))] dx,

где a(x,t)=max{-1,cosx-t/sinx}.

Теперь надо выяснить, на каких интервалах по х этот максимум равен (-1), а на каких cosx-t/sinx. Для этого на интервале (0,pi) решить неравенство
cosx-t/sinx > -1. Это неравенство равносильно

f(x)>t, где
f(x)=0.5*sin2x+sinx.

Исследуя функцию f(x) на интервале (0,pi), легко видеть, что она
на (0,pi/3) возрастает от 0 до 3*sqrt(3)/4, а затем снова убывает до 0 на (pi/3,pi).
Отсюда следует:
1)Для всех t из(0,3*sqrt(3)/4) уравнение f(x)=t имеет в интервале (0,pi)
ровно 2 корня по разные стороны от pi/3. Обозначим меньший и больший из них через a1(t) и a2(t) (не думаю, что эти корни находятся аналитически).
2) Тогда
a(x,t)=
а) (-1), если х из (0,a1(t)) и (a2(t),pi)
б) cosx-t/sinx, если х из (a1(t),a2(t)).

Тогда интеграл приводится к виду:

b(t)=0.5*(pi)^2+0.5*pi*[a1(t)-a2(t)]-int[a1(t),a2(t)] {arcsin(cosx-t/sinx)} dx.

Пока так. Не уверен, что можно дальше продвинуться аналитически. Численно - без проблем для любого t.