Здрасте.
Вот такую задачу я не могу сделать:
Доказать, что для любого счётного множества A={xn} существует число a такое что множество {xn+a} "*" A пусто, где "*" - пересечение.

Всё бы было просто, если бы {xn} был бы просто последовательностью чисел, но {xn} может быть множеством рациональных чисел, и тогда чило между {xn+1}
и {xn} не подберёш.
Сказали что надо работать с "определением пересечения", что это за определение такое ?
И что делать в этом конкретном примере?

Ну во первых, я так понимаю, что x_n - это множество чисел, иначе не определена (вообще говоря) операция сложения с числом. Если это множество чисел, то какими могут быть эти числа? любыми или рациональными или иррациональными, например? И каким должно быть число a - любым или принадлежащим множеству A.
Если число любое, то проблема которую вы указали легко решается - пусть А - множество рациональных чисел, тогда множество A* = {x_n + корень из двух} не имеет пересечения с A.

Нето.
а если Xn это последовательность 1^0.5, 2^0.5, 3^0.5 ....
Xn любое счётное множество

Думаю, можно так.
Рассмотрим множество чисел

A={a(n,m): a(n,m)=x(n) - x(m) ; n=1,2, ... m=1,2, ....}.

Ясно, что это множество счетно, а потому не может заполнять всю числовую прямую. Поэтому существует число а, не принадлежащее А. Его-то нам и надо!

Что - то не то .....
Вот именно надо доказать "Поэтому существует число а, не принадлежащее А."

Это и доказано!
Вся прямая имеет мощность континуума, а множество А - его СЧЕТНОЕ подмножество. Поэтому множество А не может совпадать со всей прямой. Отсюда следует, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ число а, не принадлежащее множеству А, Ясно, что это число "такое что множество {xn+a} "*" A пусто, где "*" - пересечение."

Что и требовалось.

Предлагаю вдуматься в написанное.

Я честно говоря так и не понял внятной постановки задачи.

MMM, так и свехнуться можно.

Думаю, так.

Дано произвольное счетное множество действительных чисел А:={x1, x2,x3, ...}. Пусть а - произвольное число. Рассмотрим множество "сдвигов на а": А(а):={x1+а, x2+а,x3+а, ...}.
Доказать, что существует такое действительное число а, что множества А и А(а) не пересекаются.

Приятно, когда на форуме появляются нестандартные задачки.
И как приятно, что есть такой человек, как venja, который предложил такое хорошее решение. Не знаю, смогла ли бы я до него догадаться. Спасибо, красиво.

Nutik, спасибо за такие слова .
Мне оно самому понравилось. И было обидно, что его не понимают.

Я тут подумала, что стоило, наверное, Ваше множество из разностей обозначить другой буквой - наверное, всех это и путает. (там же А в условиях уже занято)

venja, а по-моему это неверно.
Надо подобрать такое а, что бы при прибавлении к любому члену Xn, Xn+a ни где не совпало ни с одним членом Xn.
А то что на числовой найдется такое число, которое не принадлежит Xn , и так понятно , т.к. это счётное множество. Если бы была простая задача я бы не писал её тут
Я уверен на 100%, что Вы сказали не правильно.
А сам, к сожалению, догадаться не могу

sleeper, Вы недостаточно внимательно прочитали решение. Единственное, что я бы в нем исправила
не

а
В={a(n,m): a(n,m)=x(n) - x(m) ; n=1,2, ... m=1,2, ....}.
Вот и все.

Сомневаться - Ваше право. Сомнение разрешается проверкой правильности предложенного решения.





Именно эту задачу я решал, но сформулировал ее более корректно.



Это уже совсем другая задача, ее решение действительно очевидно. Ноя и не собирался решать ЭТУ задачу. Решил ту, что Вы спрашивали.




Без коментариев. Нервы не железные .



Беда даже не в этом. Плохо то, что Вы не можете точно осознать, что требуется доказать в этой
задаче. И то, что не можете разобраться в уже написанном решении.

Хм...решение понял ) Правда пришлось подумать. Кстати, A - действительно смущает.

Хм...
4 препода и 1 студент, не могу не согласиться ^^
Думаю тема закрыта
Спс за помощь