если мы решаем ду:x*(x-1)y`+y=x^2*(2x-1)
решала сначала соответствующее ему однородное уравнение
x*(x-1)y`+y=0
x*(x-1)dy=-ydx
in dy/y=in dx/(x*(1-x))
lnY=Ln(x/(1-x))+c, вот такой вопрос:а модуль здесь надо ставить или нет?


y=(x/(1-x))*c
дальше полагала, сто с=c(x)
y`=c/((1-x)^2)+c`*x/(1-x)
c=x-x^2+c1
y= (x/(x-1)*(x-x^2+c1)

Фактически, модуль ставить надо, только вот в любом случае интегрирование правой части было выполнено с грубой алгебраической ошибкой, ведь дифференциал dx был, а в знаменателе x*(1-x), ваш вариант был бы приемлем только в случае d(x*(1-x))
Интеграл не табличный, придётся немного повозиться. Можно попробовать дифференциальным биномом
Что касается модуля, то модуль ставить можно в таких случаях всегда (если дело дойдет до логарифма), и это будет верно в 100% случаев, просто иногда область значений внутренней функции позволяет от него избавиться, заменив обычными скобками

я представила 1/(x*(x-1)) в виде разности дробей 1/x+1/(1-x) и интеграл легко находится

Тогда уж не разность, а сумма
Попробуй сложить (или вычесть, как там у тебя) эти 2 дроби и получить исходную, готов удивляться...

1/x+1/(1-x)=(1-x)/(x*(1-x))+x/(x*(1-x))=1/(x*(1-x))? вроде все получается. Я в замешательстве. Простые алгебраические дроби. Что там не так? В левой части знаменатель:x*(1-x)? то я немного напутала. а сумма потому как -"алгебраическая"

Все там правильно.

спасибо, я вроде и проверку сделала(нашла производную и подставила в исходное) всё получилось

А как получается:
c=x-x^2+c1

x*(x-1)y`+y=0 (1)
y=(x/(1-x))*c (2)
y`=c/((1-x)^2)+c`*x/(1-x) (3)
Подставляя (2), (3) в (1), решаем уравнение относительно с.