y''+2y'+2y=1+x
y''+2y'+2y=0 y"=k²
y'= k
k²+2k+2=0 y=1
k=-1±i

y0=e­­­­­­­­­­­­­ˉ­­­­­×(c1Cosx_c2Sinx) - общее решение соответствующего уравнения

Подскажите как правую часть сделать, те найти частное решение

Такая запись некорректна. Решение будем искать в следующем виде: y=e^(kx), тогда y'=ke^(kx), y''=k^2e^(kx). Тогда получаем

Соответствующего однородного уравнения.

Посмотрите примеры здесь и далее, а также здесь