Найти общее и частное решение уд-щее нач условиям
y'+4y=sin2x+1, y(0)=1/4, y'(0)=0.
y'+4y=0
y'=4y
y=e^(-4x)
Частное решение находим по формуле
y=u(x)e^(-4x)
U'=(sin2x+1)e^(-4x)
а дальше не знаю что сделать (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

минус не дописали

y=Сe^(-4x)
Может дальше методом вариации произвольной постоянной?

лучше через подстановку y=uv

А это как?

Вот так

Воспользуемся методом вариации произвольной постоянной
y=ce^(-4x)
подставляем в исходное уравнение, получаем
c'e^(-4x)-4ce^(-4x)+4ce^(-4x)=sin2x+1
c'e^(-4x)=sin2x+1
c'=(sin2x+1)/e^(-4x) пока так?


Честное слово смотрела, но заблудилась (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Где именно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Пишу до куда дошла
y'+4y=sin2x+1
y=uv
y'=u'v+uv'
u'v+uv'+4uv=sin2x+1
u'v+u(v'+4v)=sin2x+1
Пусть
v'+4v=0. Тогда
v=e^(-4x)
А дальше что делать?

Если v'+4v=0, тогда уравнение какой вид принимает?

u'e^(-4x)+0=sin2x+1

теперь u находите

Ну подстановка вроде бы идет
e^(-4x)u'=sin2x+1
u'=(sin2x+1)/e^(-4x)
А дальше все ТОРМОЗ!!!!!

u'=(sin2x+1)e^(4x)
Дальше по частям (когда разделите переменные и перейдете к интегралам)

Тогда дальше так:
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
и что-то ерунда дальше
u=sin2x dv=(e^(-4x)dv)
du=2cos(2x)dx v=-1/4(e^(-4x)
S...=-sin2x*1/4 (e^(-4x))+1/2Scos2xe^(-4x)dx
и так до бесконечности..... Где я ошиблась?

не до бесконечности, еще раз по частям, а потом выпишите
Ssin2xe^(-4x)dx=...


Посмотрите пример здесь, перед мнемоническим правилом.

я все внимательно посмотрела и только одного не понимаю, как же я найду потом из этого всего u!

u=S(sin2x+1)e^(-4x)dx
Или не про это u речь идет?

S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
.......=I1=-1/2*e^(-4x)cos2x+2I2
I2=1/2*e^(-4x)sin2x-2I1
а u то как искать?

Ssin2xe^(-4x)dx=-sin2xe^(-4x)/4+1/2*int(e^(-4x)cos2x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8-1/4int(e^(-4x)sin2x)dx
Т.е.
Ssin2xe^(-4x)dx+1/4int(e^(-4x)sin2x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8
5/4Ssin2xe^(-4x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8
Ssin2xe^(-4x)dx=4/5*(-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8)

Я сейчас все решение в одном месте соберу, а то что-то такие "дрова" получаются
y'+4y=sin2x+1
y=uv
y'=u'v+uv'
u'v+uv'+4uv=sin2x+1
u'v+u(v'+4v)=sin2x+1
Пусть
v'+4v=0. Тогда
v=Сe^(-4x)
а значит
u'e^(-4x)+0=sin2x+1
Так неужели дальше все вот это
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
u=sin2x dv=(e^(-4x)dv)
du=2cos(2x)dx v=-1/4(e^(-4x)
S...=-sin2x*1/4 (e^(-4x))+1/2Scos2xe^(-4x)dx
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
.......=I1=-1/2*e^(-4x)cos2x+2I2
I2=1/2*e^(-4x)sin2x-2I1



А это вообще не поняла! (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Что именно не понятно?