Версия для печати темы

Автор: кокер 30.1.2010, 12:29

Найти общее и частное решение уд-щее нач условиям
y'+4y=sin2x+1, y(0)=1/4, y'(0)=0.
y'+4y=0
y'=4y
y=e^(-4x)
Частное решение находим по формуле
y=u(x)e^(-4x)
U'=(sin2x+1)e^(-4x)
а дальше не знаю что сделать

Автор: tig81 30.1.2010, 12:35

минус не дописали

y=Сe^(-4x)
Может дальше методом вариации произвольной постоянной?

Автор: Dimka 30.1.2010, 12:55

лучше через подстановку y=uv

Автор: кокер 30.1.2010, 13:14

А это как?

Автор: tig81 30.1.2010, 13:24

Вот http://www.reshebnik.ru/solutions/5/4

Автор: кокер 30.1.2010, 13:41

Воспользуемся методом вариации произвольной постоянной
y=ce^(-4x)
подставляем в исходное уравнение, получаем
c'e^(-4x)-4ce^(-4x)+4ce^(-4x)=sin2x+1
c'e^(-4x)=sin2x+1
c'=(sin2x+1)/e^(-4x) пока так?

Честное слово смотрела, но заблудилась

Автор: tig81 30.1.2010, 13:57

Где именно?

Автор: кокер 30.1.2010, 14:43

Пишу до куда дошла
y'+4y=sin2x+1
y=uv
y'=u'v+uv'
u'v+uv'+4uv=sin2x+1
u'v+u(v'+4v)=sin2x+1
Пусть
v'+4v=0. Тогда
v=e^(-4x)
А дальше что делать?

Автор: tig81 30.1.2010, 14:46

Если v'+4v=0, тогда уравнение какой вид принимает?

Автор: Dimka 30.1.2010, 14:49

u'e^(-4x)+0=sin2x+1

теперь u находите

Автор: кокер 30.1.2010, 14:51

Ну подстановка вроде бы идет
e^(-4x)u'=sin2x+1
u'=(sin2x+1)/e^(-4x)
А дальше все ТОРМОЗ!!!!!

Автор: tig81 30.1.2010, 14:54

u'=(sin2x+1)e^(4x)
Дальше по частям (когда разделите переменные и перейдете к интегралам)

Автор: кокер 30.1.2010, 15:06

Тогда дальше так:
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
и что-то ерунда дальше
u=sin2x dv=(e^(-4x)dv)
du=2cos(2x)dx v=-1/4(e^(-4x)
S...=-sin2x*1/4 (e^(-4x))+1/2Scos2xe^(-4x)dx
и так до бесконечности..... Где я ошиблась?

Автор: tig81 30.1.2010, 15:15

не до бесконечности, еще раз по частям, а потом выпишите
Ssin2xe^(-4x)dx=...


Посмотрите пример http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8F%D0%BC, перед мнемоническим правилом.

Автор: кокер 30.1.2010, 15:25

я все внимательно посмотрела и только одного не понимаю, как же я найду потом из этого всего u!

Автор: tig81 30.1.2010, 15:32

u=S(sin2x+1)e^(-4x)dx
Или не про это u речь идет?

Автор: кокер 30.1.2010, 15:35

S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
.......=I1=-1/2*e^(-4x)cos2x+2I2
I2=1/2*e^(-4x)sin2x-2I1
а u то как искать?

Автор: tig81 30.1.2010, 15:41

Ssin2xe^(-4x)dx=-sin2xe^(-4x)/4+1/2*int(e^(-4x)cos2x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8-1/4int(e^(-4x)sin2x)dx
Т.е.
Ssin2xe^(-4x)dx+1/4int(e^(-4x)sin2x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8
5/4Ssin2xe^(-4x)dx=-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8
Ssin2xe^(-4x)dx=4/5*(-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8)

Автор: кокер 30.1.2010, 15:51

Я сейчас все решение в одном месте соберу, а то что-то такие "дрова" получаются
y'+4y=sin2x+1
y=uv
y'=u'v+uv'
u'v+uv'+4uv=sin2x+1
u'v+u(v'+4v)=sin2x+1
Пусть
v'+4v=0. Тогда
v=Сe^(-4x)
а значит
u'e^(-4x)+0=sin2x+1
Так неужели дальше все вот это
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
u=sin2x dv=(e^(-4x)dv)
du=2cos(2x)dx v=-1/4(e^(-4x)
S...=-sin2x*1/4 (e^(-4x))+1/2Scos2xe^(-4x)dx
S(sin2x+1)e^(-4x)dx=Ssin2xe^(-4x)dx+Se^(-4x)dx=-1/4(e^(-4x))+......
.......=I1=-1/2*e^(-4x)cos2x+2I2
I2=1/2*e^(-4x)sin2x-2I1

А это вообще не поняла!

Автор: tig81 30.1.2010, 16:31

Что именно не понятно?

Автор: кокер 31.1.2010, 4:20

Откуда такие коэффициенты?
5/4, .../8.


Ssin2xe^(-4x)dx=4/5*(-sin2xe^(-4x)/4-cos2xe^(-4x)/8)= -e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x), т.е.
u=-e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x)
Общее решение исходного уравнения
y=-e^(-4x)/10*(2sin2x-cos2x)*c*e^(-4x)
А теперь надо подставлять начальные условия, чтобы найти частное решение?

Автор: Dimka 31.1.2010, 6:32

Я смотрю там у вас проблемы с интегрированием. Вычислять интеграл Вы будете долго пока не наткнетесь на свою ошибку. Тогда предлагаю возвратиться к первой вашей записи.

Решение уравнения ищите в виде y=Сe^(-4x)+yч

yч=A+Bcos2x+Dsin2x (1)

теперь подставьте (1) в y'+4y=sin2x+1, приравняйте соответствующие коэффициенты Далее решите систему и найдите A, B, D

Автор: кокер 31.1.2010, 9:23

yч=A+Bcos2x+Dsin2x (1)
Простите, а что такое УЧ? И куда в y'+4y=sin2x+1 я его должна подставить?Вместо чего?

Автор: Dimka 31.1.2010, 13:58

Ясно. И здесь у Вас большой пробел. Тогда досчитывайте тот интеграл.

Автор: кокер 31.1.2010, 14:35

Всё ясно, что ничего не ясно!

Автор: tig81 31.1.2010, 14:46

Еще раз примените к интегралу формулу интегрирования по частям дважды. Запишите, что получилось. Будем тогда дальше смотреть и разбираться.

Автор: кокер 31.1.2010, 15:18

Уже все завтра надо сдавать, а тут никонца ни края.....и это только первый курс....

Автор: VanDieselcm 27.6.2023, 3:10

If we have two equations x + y = 10 and y - x = 2, we can use the method of substituting the equations to solve this system of equations.
https://www.topcasualarticlesandblogs.com