Исследовать кривую второго порядка и построить её:
-3x^2-3y^2+4xy-6x+4y+2 = 0.

1)Составим матрицу квадратичной формы:
A = -3 2
2 -3.
2) Найдем собственный числа матрицы А.
-3-a 2
2 -3-a
(-3-a)^2 - 4 = 0
a1 = -5; a2 = -1
3) Найдем собственные векторы
при a1 = -5
2x+2y = 0
2x+2y = 0 x1 = (1;-1)
при а2 = -1
-2x+2y = 0
2x-2y = 0 x2 = (1;1)
4) Нормируем полученные векторы
х1 = (1/sqrt(2); 1/sqrt(2)) x2 = (1/sqrt(2); -1/sqrt(2))
5) Подставим в уравнение квадратичной формы
-(x1-y1)^2 - (x1+y1)^2 + (x1-y1)(x1+y1)-6(x1-y1)+4(x1+y1)+2 = 0

(x1-1)^2/(22/3)+(sqrt(3)y1+5sqrt(3)/3)/(22/3) = 1
6) Получается, строим окружность радиусом sqrt(22/3) = 2,7 ?
Правильно ли это решение, помогите пожалуйста

Данное уравнение (x1-1)^2/(22/3)+(sqrt(3)y1+5sqrt(3)/3)/(22/3) = 1
разве похоже на уравнение окружности? Посмотрите примеры решения подобных задач на reshebnik.ru

Нет, это похоже на уравнение эллипса! Но если a = b = 22/3, то эллипс превращается в окружность радиусом sqrt(22/3) = 2,7. Я уже почитала примеры решений оттуда это и взяла. Что-то еще не правильно?

Каноническое уравнение эллипса: x^2/a^2+y^2/b^2=1. У вас у не в квадрате.

Это я просто по невнимательности забыла написать, а на самом деле у меня так:
(x1-1)^2/(22/3)+(sqrt(3)y1+5sqrt(3)/3)^2/(22/3) = 1
Теперь похоже на уравнение эллипса? А при a = b = 22/3 окружности?

Откуда у Вас взялся коэффициент sqrt(3) вместо sqrt(5) перед y_1? Собственные числа Вы верно нашли -1 и -5, стало быть и коэффициенты при квадратах (то есть квадраты полуосей эллипса) будут относиться как 1:5, а не 1:3 как у Вас.

Сдвиг не проверял.

Посмотрел до 5) - верно, а дальше ерунда.
После замены в квадратичной форме - это поворот на 45 градусов по ходу часовой стрелки - должно получиться -5(x_1)^2 - (y_1)^2 - для этого не надо подставлять!
А вот в линейную форму подставить надо, чтобы узнать как она преобразится. Далее сдвиг путём выделения полных квадратов.

5) Подставляю в линейную форму:
-3(x1-y1)^2-3(x1+y1)^2+4(x1-y1)(x1+y1)-6(x1-y1)+4(x1+y1)+2 = 0
-2x1^2-2x1-10y1^2+10y1+2 = 0
Дальше пытаюсь выделить полные квадраты и не получается(((
-2x1^2-2x1+1-10y1^2+10y1+1 = 0
-2x1^2-2x1+1+(-sqrt(10)y1^2+2*sqrt(10)*sqrt(2,5)+(sqrt(2,5))^2) - 0,6 = 0
-2x1^2-2x1+1+(-sqrt(10)y1+sqrt(2,5))^2 - 0,6 = 0
А с х1 не получается...

Проверьте, пожалуйста (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) очень прошу

Посмотрите пример

Я посмотрела и ничего мне это не дало... У них там нет ни матрицы, ни собственных значений, ни собственных векторов, ничего! Или они и не нужны?

Это еще один из способов. Все зависит от того, как вам надо сделать и как вам давали. Если распишите алгоритм требуемых действием, то попробую разобраться в вашем способе.

Исследовать кривую второго порядка и построить её:
-3x^2-3y^2+4xy-6x+4y+2 = 0.

Мы вот так решаем:

1)Составим матрицу квадратичной формы:
A = -3 2
2 -3.
2) Найдем собственный числа матрицы А.
-3-a 2
2 -3-a
(-3-a)^2 - 4 = 0
a1 = -5; a2 = -1
3) Найдем собственные векторы
при a1 = -5
2x+2y = 0
2x+2y = 0 x1 = (1;-1)
при а2 = -1
-2x+2y = 0
2x-2y = 0 x2 = (1;1)
4) Нормируем полученные векторы
х1 = (1/sqrt(2); 1/sqrt(2)) x2 = (1/sqrt(2); -1/sqrt(2))
5) Подставим в уравнение квадратичной формы
-(x1-y1)^2 - (x1+y1)^2 + (x1-y1)(x1+y1)-6(x1-y1)+4(x1+y1)+2 = 0

(x1-1)^2/(22/3)+(sqrt(3)y1+5sqrt(3)/3)/(22/3) = 1
6) Получается, строим окружность радиусом sqrt(22/3) = 2,7 ?
До 5 все понятно

А как подставляли? Что вместо чего?

Мне тоже. (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

Подствляю вот в это -3x^2-3y^2+4xy-6x+4y+2 = 0.
В методичке написано, в квадратичную форму, т. е. перед х^2 и y^2 и ху коэффициенты не учитываются! Вот сюда я подставляю полученные x = (1/sqrt2)x1-(1/sqrt2)y1 и y = (1/sqrt2)x1+(1/sqrt2)y1, т. е х = х1-у1 и у = х1+у1 и получается: -(x1-y1)^2 - (x1+y1)^2 + (x1-y1)(x1+y1)-6(x1-y1)+4(x1+y1)+2 = 0

Если я правильно понимаю, вы составляете матрицу C, по столбцам которой записаны координаты нормированных собственных векторов и (x y)^t=C(x1 y1)^t. Так?

а 1/sqrt2 где делась?

Вы знаете, честно говоря, я сама не знаю, что я делала... Просто повторила за методичкой (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)
Вы скажите, что нужно сделать дальше после 5) и я решу, спасибо

Я говорила, что такой способ мне не совсем известен. А можете прикрепить скан методички?!

Вот здесь такое же задание, я по образцу делала, а скана методички нет (IMG:style_emoticons/default/rolleyes.gif)

Ага, про матрицу я была права. Это радует.
Не понятно, где у четвертого и пятого слагаемых делся корень в знаменателе. На него не сократили, хм...

Ну почему, везде на 1/sqrt2 сократили и все, в матрице! И пдставили в квадратичну форму, что неправильно? У них просто так хорошо получилось уравнение эллипса, а у меня нет(((