Версия для печати темы

Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 15:29

Исследовать кривую второго порядка и построить её:
-3x^2-3y^2+4xy-6x+4y+2 = 0.

1)Составим матрицу квадратичной формы:
A = -3 2
2 -3.
2) Найдем собственный числа матрицы А.
-3-a 2
2 -3-a
(-3-a)^2 - 4 = 0
a1 = -5; a2 = -1
3) Найдем собственные векторы
при a1 = -5
2x+2y = 0
2x+2y = 0 x1 = (1;-1)
при а2 = -1
-2x+2y = 0
2x-2y = 0 x2 = (1;1)
4) Нормируем полученные векторы
х1 = (1/sqrt(2); 1/sqrt(2)) x2 = (1/sqrt(2); -1/sqrt(2))
5) Подставим в уравнение квадратичной формы
-(x1-y1)^2 - (x1+y1)^2 + (x1-y1)(x1+y1)-6(x1-y1)+4(x1+y1)+2 = 0

(x1-1)^2/(22/3)+(sqrt(3)y1+5sqrt(3)/3)/(22/3) = 1
6) Получается, строим окружность радиусом sqrt(22/3) = 2,7 ?
Правильно ли это решение, помогите пожалуйста

Автор: Dimka 9.4.2009, 16:24

Данное уравнение (x1-1)^2/(22/3)+(sqrt(3)y1+5sqrt(3)/3)/(22/3) = 1
разве похоже на уравнение окружности? Посмотрите примеры решения подобных задач на reshebnik.ru

Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 18:35

Нет, это похоже на уравнение эллипса! Но если a = b = 22/3, то эллипс превращается в окружность радиусом sqrt(22/3) = 2,7. Я уже почитала примеры решений оттуда это и взяла. Что-то еще не правильно?

Автор: tig81 9.4.2009, 19:11

Каноническое уравнение эллипса: x^2/a^2+y^2/b^2=1. У вас у не в квадрате.

Автор: Yano4k@ 10.4.2009, 8:40

Это я просто по невнимательности забыла написать, а на самом деле у меня так:
(x1-1)^2/(22/3)+(sqrt(3)y1+5sqrt(3)/3)^2/(22/3) = 1
Теперь похоже на уравнение эллипса? А при a = b = 22/3 окружности?

Автор: dr.Watson 10.4.2009, 14:14

Откуда у Вас взялся коэффициент sqrt(3) вместо sqrt(5) перед y_1? Собственные числа Вы верно нашли -1 и -5, стало быть и коэффициенты при квадратах (то есть квадраты полуосей эллипса) будут относиться как 1:5, а не 1:3 как у Вас.

Сдвиг не проверял.

Посмотрел до 5) - верно, а дальше ерунда.
После замены в квадратичной форме - это поворот на 45 градусов по ходу часовой стрелки - должно получиться -5(x_1)^2 - (y_1)^2 - для этого не надо подставлять!
А вот в линейную форму подставить надо, чтобы узнать как она преобразится. Далее сдвиг путём выделения полных квадратов.

Автор: Yano4k@ 11.4.2009, 10:13

5) Подставляю в линейную форму:
-3(x1-y1)^2-3(x1+y1)^2+4(x1-y1)(x1+y1)-6(x1-y1)+4(x1+y1)+2 = 0
-2x1^2-2x1-10y1^2+10y1+2 = 0
Дальше пытаюсь выделить полные квадраты и не получается(((
-2x1^2-2x1+1-10y1^2+10y1+1 = 0
-2x1^2-2x1+1+(-sqrt(10)y1^2+2*sqrt(10)*sqrt(2,5)+(sqrt(2,5))^2) - 0,6 = 0
-2x1^2-2x1+1+(-sqrt(10)y1+sqrt(2,5))^2 - 0,6 = 0
А с х1 не получается...

Автор: Yano4k@ 12.4.2009, 9:02

Проверьте, пожалуйста очень прошу

Автор: tig81 12.4.2009, 9:20

Посмотрите http://www.reshebnik.ru/solutions/10/12

Автор: Yano4k@ 13.4.2009, 8:16

Я посмотрела и ничего мне это не дало... У них там нет ни матрицы, ни собственных значений, ни собственных векторов, ничего! Или они и не нужны?

Автор: tig81 13.4.2009, 8:34

Это еще один из способов. Все зависит от того, как вам надо сделать и как вам давали. Если распишите алгоритм требуемых действием, то попробую разобраться в вашем способе.

Автор: Yano4k@ 14.4.2009, 8:06

Исследовать кривую второго порядка и построить её:
-3x^2-3y^2+4xy-6x+4y+2 = 0.

Мы вот так решаем:

1)Составим матрицу квадратичной формы:
A = -3 2
2 -3.
2) Найдем собственный числа матрицы А.
-3-a 2
2 -3-a
(-3-a)^2 - 4 = 0
a1 = -5; a2 = -1
3) Найдем собственные векторы
при a1 = -5
2x+2y = 0
2x+2y = 0 x1 = (1;-1)
при а2 = -1
-2x+2y = 0
2x-2y = 0 x2 = (1;1)
4) Нормируем полученные векторы
х1 = (1/sqrt(2); 1/sqrt(2)) x2 = (1/sqrt(2); -1/sqrt(2))
5) Подставим в уравнение квадратичной формы
-(x1-y1)^2 - (x1+y1)^2 + (x1-y1)(x1+y1)-6(x1-y1)+4(x1+y1)+2 = 0

(x1-1)^2/(22/3)+(sqrt(3)y1+5sqrt(3)/3)/(22/3) = 1
6) Получается, строим окружность радиусом sqrt(22/3) = 2,7 ?
До 5 все понятно

Автор: tig81 14.4.2009, 18:17

А как подставляли? Что вместо чего?

Мне тоже.

Автор: Yano4k@ 15.4.2009, 10:32

Подствляю вот в это -3x^2-3y^2+4xy-6x+4y+2 = 0.
В методичке написано, в квадратичную форму, т. е. перед х^2 и y^2 и ху коэффициенты не учитываются! Вот сюда я подставляю полученные x = (1/sqrt2)x1-(1/sqrt2)y1 и y = (1/sqrt2)x1+(1/sqrt2)y1, т. е х = х1-у1 и у = х1+у1 и получается: -(x1-y1)^2 - (x1+y1)^2 + (x1-y1)(x1+y1)-6(x1-y1)+4(x1+y1)+2 = 0

Автор: tig81 15.4.2009, 15:16

Если я правильно понимаю, вы составляете матрицу C, по столбцам которой записаны координаты нормированных собственных векторов и (x y)^t=C(x1 y1)^t. Так?

а 1/sqrt2 где делась?

Автор: Yano4k@ 16.4.2009, 7:24

Вы знаете, честно говоря, я сама не знаю, что я делала... Просто повторила за методичкой
Вы скажите, что нужно сделать дальше после 5) и я решу, спасибо

Автор: tig81 16.4.2009, 9:02

Я говорила, что такой способ мне не совсем известен. А можете прикрепить скан методички?!

Автор: Yano4k@ 16.4.2009, 13:45

Вот здесь такое же задание, я по образцу делала, а скана методички нет

Автор: tig81 16.4.2009, 16:48

Ага, про матрицу я была права. Это радует.
Не понятно, где у четвертого и пятого слагаемых делся корень в знаменателе. На него не сократили, хм...

Автор: Yano4k@ 17.4.2009, 8:37

Ну почему, везде на 1/sqrt2 сократили и все, в матрице! И пдставили в квадратичну форму, что неправильно? У них просто так хорошо получилось уравнение эллипса, а у меня нет(((

Автор: tig81 17.4.2009, 14:51

Хм... что-то непонятно.
2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+1=0
x=x1/sqrt2-y1/sqrt2
y=x1/sqrt2+y1/sqrt2
Тогда
2x^2=(x1/sqrt2-y1/sqrt2)^2=2(x1-y1)^2/2=(x1-y1)^2
2y^2=(x1/sqrt2+y1/sqrt2)^2=2(x1+y1)^2/2=(x1+y1)^2
-2xy=-2(x1/sqrt2-y1/sqrt2)(x1/sqrt2+y1/sqrt2)=-2(x1-y1)(x1+y1)/2=-(x1-y1)(x1+y1)
-2x=-2(x1/sqrt2-y1/sqrt2)=-2(x1-y1)/sqrt2
-2y=-2(x1/sqrt2+y1/sqrt2)=-2(x1+y1)/sqrt2
Вот непонятно, где в двух последних равенствах делся в знаменателе sqrt2?! Или я что-то не так поняла?

Автор: Yano4k@ 18.4.2009, 7:44

Как я поняла, что там они подставляют вместо х = (x1-y1), вместо у = (x1+y1), поэтому в двух последних равенствах нет в знаменателе sqrt2. А если как вы говорите, то получается sqrt2х1^2+3sqrt2y1^2-4x1+1 = 0. Я не заю как...

Автор: tig81 18.4.2009, 7:54

Почему? Если x=x1/sqrt2-y1/sqrt2 и y=x1/sqrt2+y1/sqrt2, да и коэффициенты при квадратах куда-то у них делись?! При такой подстановке (с корнями в знаменателе), они действительно сокращаются, но при первых степенях переменных я не знаю, куда авторы их дели.

Вот так вроде получается:
(x1-y1)^2+(x1+y1)^2-(x1-y1)(x1+y1)-2(x1-y1)/sqrt2-2(x1+y1)/sqrt2+1=0.
Или
(x1-y1)^2+(x1+y1)^2-(x1-y1)(x1+y1)-sqrt2(x1-y1)-sqrt2(x1+y1)+1=0.
Теперь расскрывайте скодки, сводите подобные, затем снова выделяйте полные квадраты.

П.С. Не знаю, как получили уравнение после подстановки. Может у преподавателя поинтересутесь?

Автор: Yano4k@ 19.4.2009, 12:44

x1^2-2sqrt2x1+2y1+1 = 0
x1^2-2sqrt2x1+2y1+1+1-1 = 0
(x1-sqrt2)^2+2y1^2-1 = 0
А с у не получается выделить квадрат...
Понимаете, я заочно учусь в другом городе и не могу никак спросить. Но мне очень нужно это задание, тем более потом защищать

Автор: tig81 19.4.2009, 13:16

у меня у1 не осталось, зато у1^2 есть.
А ну еще раз аккуратно расскройте скобки (могла и я ошибиться).

Автор: Yano4k@ 20.4.2009, 9:25

(x1-sqrt2)^2+2y1^2-1 = 0 вот так получается! Не знаю, кто ошибается...

Автор: tig81 20.4.2009, 10:26

Еще раз проверила, вот такое получается у меня: x1^2+3y1^2-2sqrt(2)x1+1 = 0.
Прикрепите листочек с упрощениями, посмотрим.

Автор: Yano4k@ 20.4.2009, 14:00

Ой, точно x1^2+3y1^2-2sqrt(2)x1+1 = 0.
(x1^2-sqrt2)^2+3y1-1 = 0
а как с у?

Автор: tig81 20.4.2009, 14:27

1. Квадрат лишний
2. Квадрат потеряли

а что с у1? Так и оставляйте.

Автор: Yano4k@ 21.4.2009, 10:52

(x1-sqrt2)^2+3y1^2 = 1 и какой фигуры это канонический вид? Эллипса? Что строить-то?

Автор: tig81 21.4.2009, 16:21

Да, приведите только к каноническому виду.

Автор: Yano4k@ 22.4.2009, 8:17

Как это интересно сделать?
(x1-sqrt2)^2/3+y1^2/1 = 1/3?

Автор: tig81 22.4.2009, 10:44

Каноническое уравнение эллипса: x^2/a^2+y^2/b^2=1.

Надо вспомнить, что a/b=1/(b/a)

Автор: Yano4k@ 22.4.2009, 14:14

Нее, я не понимаю! Как понять a/b? и что sqrt3/1 = 1/(1/sqrt3)...

Автор: tig81 22.4.2009, 18:24

Ох... sqrt3 откуда взялся?
(x1-sqrt2)^2+3y1^2 = 1
Делаем параллельный перенос:
x'=x1-sqrt2
(x')^2+y1^2/1/3 = 1

Автор: Yano4k@ 23.4.2009, 8:20

Первый раз такое слышу
x'^2/1^2+y^2/((1/sqrt3)^2)=1
это и есть канонический вид? а что за x' ?

Автор: tig81 23.4.2009, 13:42

что именно?

непохоже?

x'=x1-sqrt2

Автор: Yano4k@ 24.4.2009, 8:55

Значит, строим эллипс с центром в точке(0;0), а = 1, b = 1/sqrt3?

Автор: tig81 24.4.2009, 14:51

Да, если речь идет о системе координат x'Oy. Если же о хОу, то цетр в точке (sqrt2;0).

Автор: Yano4k@ 25.4.2009, 8:13

Спасибо большое, я все поняла

Автор: tig81 25.4.2009, 9:38

Пожалуйста!