IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

> матрица линейного оператора
Stassy
сообщение 21.2.2009, 17:50
Сообщение #1


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Задание: линейный оператор в базисе u1,u2,u3 имеет матрицу A. Найти его матрицу в базисе v1,v2,v3.
Даны координаты векторов u1,u2,u3, v1,v2,v3 и матрица A. Нужно найти матрицу B.

Действую так: вначале нахожу матрицу перехода из базиса u1,u2,u3 к базису v1,v2,v3, обозначу ее как U. И обратную к ней - V. Отсюда B=UAV.
Верно ли такое решение? Заранее спасибо.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
2 страниц V  1 2 >  
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
Ответов(1 - 19)
tig81
сообщение 21.2.2009, 18:00
Сообщение #2


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Вроде рассуждения верны, но если я не ошибаюсь, матрицы U и V надо поменять местами.
Пример
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 21.2.2009, 18:23
Сообщение #3


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Этот момент в учебниках как-то непонятно расписан, спасибо за пример и подсказку. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 21.2.2009, 18:35
Сообщение #4


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Пожалуйста.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 22.2.2009, 16:02
Сообщение #5


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



А вот еще одно задание: линейный оператор А переводит векторы a1,a2,a3 ( даны координаты) в векторы b1,b2,b3 ( даны координаты) соответственно. Найти матрицу оператора А в стандартном базисе.

Составляю систему из 9ти уравнений : bn=A*an и нахожу матрицу оператора А. А как найти эту матрицу в стандартном базисе?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 22.2.2009, 16:05
Сообщение #6


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 22.2.2009, 18:02) *

А как найти эту матрицу в стандартном базисе?

Стандартный базис - е1=(1,0,0), е2=(0,1,0),е3=(0,0,1)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 22.2.2009, 16:10
Сообщение #7


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 22.2.2009, 21:05) *

Стандартный базис - е1=(1,0,0), е2=(0,1,0),е3=(0,0,1)

То есть грубо говоря умножить получившуюся матрицу на единичную матрицу?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 22.2.2009, 16:48
Сообщение #8


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 22.2.2009, 18:10) *

То есть грубо говоря умножить получившуюся матрицу на единичную матрицу?

А что это изменит?


Цитата(Stassy @ 22.2.2009, 18:02) *

А вот еще одно задание: линейный оператор А переводит векторы a1,a2,a3 ( даны координаты) в векторы b1,b2,b3 ( даны координаты) соответственно. Найти матрицу оператора А в стандартном базисе.

векоры по три координаты имеют?
Цитата
Составляю систему из 9ти уравнений : bn=A*an и нахожу матрицу оператора А.

Не пойму, откуда 9 уравнений берется?


Цитата(Stassy @ 22.2.2009, 18:02) *

А как найти эту матрицу в стандартном базисе?

Если я правильно поняла задание, то надо вспомнить, что называется матрицей оператора в некотором базисе - это матрица, по столбцам которй записаны образы базисных векторов.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 22.2.2009, 16:55
Сообщение #9


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Да, векторы имеют по 3 координаты. То есть получается матрица А будет 3 на 3, соответственно 9 неизвестных.
Составляю систему: b1=A*a1 (3 уравнения), b2=A*a2(3 уравнения), b3=A*a3 (3 уравнения)
Матрица А вроде бы правильная получилась.
Потом нужно разложить матрицу А по стандартному базису, то есть в итоге получается матрица, у которой на главной диагонали какие-то значения, а остальные элементы нулевые?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 22.2.2009, 17:29
Сообщение #10


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 22.2.2009, 18:55) *

Да, векторы имеют по 3 координаты. То есть получается матрица А будет 3 на 3, соответственно 9 неизвестных.
Составляю систему: b1=A*a1 (3 уравнения), b2=A*a2(3 уравнения), b3=A*a3 (3 уравнения)
Матрица А вроде бы правильная получилась.

ага, теперь понятно
Цитата
Потом нужно разложить матрицу А по стандартному базису, то есть в итоге получается матрица, у которой на главной диагонали какие-то значения, а остальные элементы нулевые?

Честно говоря, что-то запуталась, но не надо ли это подействовать матрицей А на векторы стандартного базиса? (IMG:style_emoticons/default/blink.gif) Надо думать...

Хотя возможно, та матрица, которую вы нашли, и есть уже ответ. Хм...
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 22.2.2009, 20:38
Сообщение #11


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Да, я тоже в сомнениях.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 22.2.2009, 20:46
Сообщение #12


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Я бы так сделал:
1)записал бы матрицу(Х),которая переводит векторы стандартного бызаиса е1,е2,е3 в вектора а1,а2,а3 и ту(Y),которая те же базисные векторы переводит во вторую тройку.
2)два преобразования с матрицами X и A равны преобразованию Y,следовательно
3)решаем матричное уравнение XA=Y,откуда находим A.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 22.2.2009, 20:50
Сообщение #13


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



интересно...
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 23.2.2009, 10:05
Сообщение #14


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Цитата(граф Монте-Кристо @ 23.2.2009, 1:46) *

Я бы так сделал:
1)записал бы матрицу(Х),которая переводит векторы стандартного бызаиса е1,е2,е3 в вектора а1,а2,а3 и ту(Y),которая те же базисные векторы переводит во вторую тройку.
2)два преобразования с матрицами X и A равны преобразованию Y,следовательно
3)решаем матричное уравнение XA=Y,откуда находим A.

Матрица которая переводит векторы стандартного базиса в вектора а1,а2,а3 - это та же самая матрица из векторов а1,а2,а3.
Поэтому, мне кажется, что матрица, которая переводит векторы A в B и есть ответ.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 23.2.2009, 10:13
Сообщение #15


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Цитата

Матрица которая переводит векторы стандартного базиса в вектора а1,а2,а3 - это та же самая матрица из векторов а1,а2,а3.
Поэтому, мне кажется, что матрица, которая переводит векторы A в B и есть ответ.

Да,просто в Вашем решении Вам приходится решать систему из 9 уравнений,а мне всего лишь нужно найти обратную к X и умножить её справа на Y.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 23.2.2009, 11:11
Сообщение #16


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Цитата(граф Монте-Кристо @ 23.2.2009, 15:13) *

Да,просто в Вашем решении Вам приходится решать систему из 9 уравнений,а мне всего лишь нужно найти обратную к X и умножить её справа на Y.

Ок, спасибо, у меня простые матрицы(много нулей), поэтому мне быстрее системой решить, ибо решение нужно "ручное".
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 23.2.2009, 11:45
Сообщение #17


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Цитата
Ок, спасибо, у меня простые матрицы(много нулей), поэтому мне быстрее системой решить, ибо решение нужно "ручное".

Хозяин-барин (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 23.2.2009, 12:39
Сообщение #18


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



У меня еще одно задание с матрицами перехода:
найти матрицу перехода от базиса 1,t,t^2,t^3 пространства многочленов степени не выше 3 к базису 1,(t+a), (t+a)^2,(t+a)^3.
Не могу понять как представить эти базисы, чтобы матрицу найти и как влияет пространство многочленов степени 3, ибо t^4 у нас нет.
То есть базис 1,t,t^2,t^3 можно записать как:
1 0 0 0
0 t 0 0
0 0 t^2 0
0 0 0 t^3
Или я не права? Заранее спасибо.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 23.2.2009, 13:10
Сообщение #19


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Первый базис называется стандартным в пространстве многочленов.Чтобы записать матрицу перехода,нужно просто векторы второго расписать покоординатно:
1=1*1+0*t+0*t^2+0*t^3;
t+a=a*1+1*t+0*t^2+0*t^3;
(t+a)^2=t^2+2*t*a+a^2=a^2*1+2*a*t+1*t^2+0*t^3;
(t+a)^3=t^3+3*a*t^2+3*a^2*t+a^3=...
То есть,координатами первого вектора нового базиса в старом будет (1,0,0,0), второго - (а,1,0,0), третьего - (a^2,2*a,1,0), четвёртого - (a^3,3*a^2,3*a,1).
А потом просто записываете матрицу перехода.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 23.2.2009, 13:22
Сообщение #20


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Цитата(граф Монте-Кристо @ 23.2.2009, 18:10) *

Первый базис называется стандартным в пространстве многочленов.Чтобы записать матрицу перехода,нужно просто векторы второго расписать покоординатно:
1=1*1+0*t+0*t^2+0*t^3;
t+a=a*1+1*t+0*t^2+0*t^3;
(t+a)^2=t^2+2*t*a+a^2=a^2*1+2*a*t+1*t^2+0*t^3;
(t+a)^3=t^3+3*a*t^2+3*a^2*t+a^3=...
То есть,координатами первого вектора нового базиса в старом будет (1,0,0,0), второго - (а,1,0,0), третьего - (a^2,2*a,1,0), четвёртого - (a^3,3*a^2,3*a,1).
А потом просто записываете матрицу перехода.

Спасибо за подсказку и решение! Всё оказалось просто)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

2 страниц V  1 2 >
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
2 чел. читают эту тему (гостей: 2, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 28.3.2024, 15:48

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru