Да, Вы правы, надо проверить что случайная величина примет значение Х>=116.
Вы имеете ввиду это P(105<=x<=115) ?
Ну ведь если я буду рассматривать вероятность того, что x<=116, а потом вычитать из 1 эту вероятность (чтобы получить вероятность того, что с.в. X>=116), то я потеряю те значения случайной величины, которые будут равны 116.

Не потеряете. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

У Вас задача немного не такая, как у топикстартера, просто представьте эту колокообразную кривую и собственно поймите какую площадь под кривой нужно посчитать.

P(X>=116)=int(116:+00){f(x)dx}=Ф(0,67)

(IMG:http://s46.radikal.ru/i113/0903/a9/7875b56d8f2d.jpg)

Извините меня, не хочу показаться навязчивым (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) но почему это именно так ведь int(a:+oo){f(x)dx} = F(+oo)-F(a), где F первообразная от f.
Ведь мы имеем дело с обыкновенным несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом?

Да, конечно, зарапортовался....
При х>5, Ф(+00)~0.5
P(X>=116)=0,5-Ф(0,67)

(IMG:style_emoticons/default/blink.gif) а не могли бы Вы пояснить вот это При х>5, Ф(+00)~0.5
Разве функция распределения Ф(+оо) не равна 1?

Функцией Лапласа обычно называют не функцию расределения нормального закона, а интеграл от 0 до х от нормальной стандартной плотности. Поэтому вы и не можете договориться (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Немного дополню для ясности пояснения malkolma.

Функция распределения везде обозначается одинаково F(t). И её значения всегда и везде находятся в пределах [0;1] как вероятности.

А вот с функцией Лапласа гораздо сложнее.
Есть несколько различных форм записи интеграла вероятностей или функции Лапласа, которая везде обычно обозначается Ф(t).
В каких-то учебниках встречается одна форма записи, и функция Лапласа принимает значения от -1 до +1, в каких-то - другая форма записи, и функция Лапласа находится в интервале от 0 до 1, где-то от 0 до 0,5... (и от этого различаются формулы для нормального закона распределения попадания вероятностей в интервал, функции распределения через функцию Лапласа и т.д..)
Вот, попыталась систематизировать встреченные формы записи (если есть дополнения - welcome):

(IMG:http://s39.radikal.ru/i083/0903/9d/c11e1717e28f.jpg)



Ярослав, видимо, использовал средний вариант.

ЗЫ Поэтому я всегда опасаюсь давать здесь формулы нормального закона, т.к. тут у всех много разночтений, проверять можно только окончательную вероятность...(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

ЗЫ2 Кстати, ВОПРОС КО ВСЕМ!!!
Скажите, пожалуйста, кто с каким вариантом записи функции Лапласа работает (вопрос преподавателям), кому какой вариант дают на лекциях (вопрос студентам) - мне очень интересно, что наиболее все-таки распространено... И почему устроили такие разночтения...

Ой, прошу прощения за своё легкомысленное обращение с принятой терминологией.
Наверно это я всё - таки перемудрил. Иной раз для меня проще сразу написать полное решение, но так уже наверно не годится...


Наверно это мои погрешности самообразования, да и праздник вчера сказался. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Просто заглядывая в таблицы, я вижу там функцию Ф(х), хотя понятно, что нужно правильнее F(х) и опуская пишу Ф(х).
Вообщем, ещё раз извиняюсь. (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

Да не за что извиняться.. Это же не Вы ввели разночтения.. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Так Вас как учили? Второй вариант функции Лапласа?

Ну да...

Да, кстати..
Р(Х>=116)=1- Р(Х<116)

Нормальный закон распределения - это непрерывная СВ, а для непрерывной СВ вероятность попадания в точку (Х=116) равна нулю, поэтому со знаками (<, <=) можно обращаться достаточно вольно.

Juliya, спасибо за подробное разъяснения. У меня, к сожалению, по данной теме в силу объективных и субъективных (IMG:style_emoticons/default/cool.gif) причин получился пробел. Поэтому знания мои не систематизированы, а выдернуты из разных источников.
Поэтому, использую то, что предлагал Ярослав_ получим:
P(116<=x<+oo)= (0,5+Ф(+оо))-(0,5+Ф(116)) = 1 - 0,7486 = 0,2514
где Ф(х) принадлежит [0;0,5] и Ф(+оо)=0,5
Надеюсь теперь это правильно (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Да, ответ верный (IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif) (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Проще выражать через функцию распределения:

Р(Х>=116)=1- Р(Х<116)=1-F(116) ... и далее через функцию Лапласа

Хотя, наверное, проще - как понятнее.. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вот только опять Вы с обозначениями путаетесь...

неверно! Ф(116)=Ф(+oo)
Функция Лапласа берется от нормированного значения, а не от самого х.
в данном случае Ф(0,67)

Благодарю Вас.
Виноват. Под записью Ф(116) я всего лишь подразумевал Ф((x - a)/ско) и x=116.
Просто хотел записать покороче (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

Работаю с вариантом как в Гмурмане: Ф(x)=(1/sqrt(2п))*int(0..x)(exp(-z^2/2)dz). Хотя когда-то встретился другой вариант, а я сразу не обратила, вот наворотила тогда... Думаю, что ж такое, что с ответом не сходится (на мое счастье он был)... (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вообще термин "функция Лапласа" не использую. На лекциях даётся формула функции распределения int(-oo,x); она же в табличках в курсе лекций. В основном задачнике табличка хвостов int(x,+oo); студенты используют и тот, и тот варианты таблиц.

Использую тот же вариант, что и tig81. По ряду причин он мне кажется более удобным. Правда, уже не помню, по какому ряду, а вспоминать лень.

P.S. Любуюсь на Ваши графики. Это мое слабое место - не умею их рисовать на компьютере. Пробовал разобраться, не тратя много времени, но при этом условии - не получилось.

Спасибо! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Да, на это, к сожалению, надо много времени...

Да, интересно получается.. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Спасибо всем за ответы!! Интересно все-таки обсуждать такие моменты - когда-то обсудили разные варианты функции распределения, теперь вот очередь дошла до нормального закона.. Предлагаю продолжать такой плодотворный обмен информацией...

Меня в свое время в одном московском техническом вузе учили по второй формуле (как в Гмурмане, у venja, tig81 и Ярослава...

Сама сейчас даю третий вариант, т.к. так было принято в моем вузе, когда я туда пришла, а в чужой монастырь, как известно... Да и учебники-задачники все тянут...

Сейчас бы, будь моя воля, давала бы, наверное, первый вариант, как у Феллера, Вентцель, и как дает malkolm... Действительно, просто функция распределения...

Хотя, наверное, в каждом варианте есть свои плюсы... (IMG:style_emoticons/default/bigwink.gif)

а вот, кстати, вопрос.. если Вы не используете ф. Лапласа, как Вы переходите к стандартной величине? как-то по-другому обозначаете функцию распределения для нормированных значений?

В терминах случайных величин - просто как "если X ~ N(a,sigma^2), то Y=(X-a)/sigma ~ N(0,1)". А в терминах функций распределения - использую обозначения Ф_{0,1}(x) и Ф_{a,sigma^2}(x) соответственно для функций распределения нормального стандартного и просто нормального законов.