y'=y\x+cos^2(y\x) ???

Сделайте замену z=y/x.

а дальше?))

Подставляйте в уравнение и преобразовывайте.

я дошла до tg z=x+c а дальше что делать?

z=y/x

y=zx

y'=xz'+z

tg z=x+c => z=x+c/arctg x?
я вот с этим тангенсом запуталась..так будет?

Показывайте полное решение.

z'x+z=z+cos^2z
z'x=cos^2z
dz/dx=cos^2z
1/dx=cos^2z/dz
dx=dz/cos^2z
Sdx=Sdz/cos^2z
tg z=x+c

Куда в третьей строчке х пропал?

а где он должен быть?))
ход решения правильный?

Запись z'x означает, что берётся производная от z и потом умножается на х, а не частная производная по иксу. Разделяйте переменные и интегрируйте.

у меня получилось:
tg z+c=ln|x|+c
как выразить z?

Подставляйте теперь z = y/x. Одну константу можно убрать. Выражать больше ничего не нужно.