помогите пожалуйста решить ....При каких w принадл. R,уравнение x"+(w^2)*x=(cos^2)x+1 имеет хотя бы одно периодическое решение?

Надо рассмотреть разные значения w: w = 0 и w <> 0
А потом найти общее решение в каждом из случаев.

вот нашла я общие решения и что мне они дают?

Выпишите их.

при w=0, x(t)=c1+c2x-(1/8)cos2x,
при w=1 например x(t)=c1cosx+c2sinx-(1/8)cos2x

и получается когда будем брать опять таки w какое-нибудь и будем находить общее решение,то будет меняться решение однородного уравнения,а частное останется то же (-1/8)*cos2x

Вы все w проверили? Попробуйте так же сделать для w = 2.