Вот такое задание:
найти базис пространства <x1,x2,x3,x4> и координаты векторов x1,x2,x3,x4 в найденном базисе:
x1=(-1,4,-3,-2), x2=(3,-7,5,3), x3=(3,-2,1,0), x4=(-4,1,0,1).

Подскажите правильно ли будет следующее решение:
составляю матрицу
-1 3 3 -4
4 -7 -2 1
-3 5 1 0
-2 3 0 1
преобразовываю :
-1 3 3 -4
0 -1 -2 3
0 0 0 0
0 0 0 0

ранг = 2, x1, x2 - базис, x3=c1, x4=c2.
Составляю систему:
-x1+3x2+3c1-4c2=0
-x2-2c1+3c2=0
отсюда
x1=-3c1+5c2
x2=-2c1+3c2
x3=c1
x4=c2
Координаты векторов транспонированные: x1=(-3, -2, 1, 0 ), x2=(5,3,0,1), x3, x4 - нулевые векторы?

строки местами не меняли? А... вы координаты векторов по столбцам записывали. Хм... тогда что-то не соображу. Если вам будет нетяжело, запишите координаты векторов построке и приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.

Что это за система?

Т.е. в базисе {x1, x2} векторы x3, x4 нулевые. Так?

Если записывать по строкам:
-1 4 -3 -2
3 -7 5 3
3 -2 1 0
-4 1 0 1
после преобразований:
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 0 0 0
0 0 0 0

А систему записала так, как будто решаю СЛУ.
Или как мне лучше решить это задание?

Строки меняли местами? Т.е. делаем вывод, что базис состоит из двух векторов. А можете все преобразования для матрицы записать. ПРосто, чтобы понять, какие векторы являются ЛЗ?!

какую?

Строчки не меняю местами.
-1 4 -3 -2
3 -7 5 3
3 -2 1 0
-4 1 0 1
======
S2-3S3 и S4-4S1
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
3 -2 1 0
0 -15 12 9
======
S4-3S2 и S3-3S1
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 10 -8 -6
0 0 0 0
======
S3+2S2
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 0 0 0
0 0 0 0

2 вектора в базисе.
Слу решала по первым 2м строчкам полученной матрицы, из учета, что 2 вектора в базисе.
Что-то подобное делается тут: http://www.toehelp.ru/exampls/math/kuznecov/X.03.20.GIF
Но не знаю правильно ли это в данном случае.

т.е. линейно независимыми являются такие векторы: {x1,x2}, {x1,x3}, {x1,x4}. Это возможные базисы заданного подпространства. Выбирайте любой из них и находите координаты оставшихся двух векторов в выбранном базисе. Для этого надо вспомнить определение "координат векотра в базисе".

Мне кажется, что для этого примера другое задание.

Тогда базис беру {x1,x2}
Значит координаты x1,x2 остаются прежними?
и находим только x3,x4?
то есть:
x3=ax1+bx2
составляем систему(по правилам нахождения координат вектора):
-a+3b=3
4a-7b=-2
отсюда:
b=2, a=3
и x3=(3,-2,1,0)
Аналогично находим x4.

нет. Находите также координаты векторов х1, х2 в базисе х1, х2

не поняла, как такое получили?

да

x3=ax1+bx2
тогда
ax11+bx21=x31
ax12+bx22=x32,
где из начальных данных: x11=-1, x21=3, x12=4, x22=-7, x31=3, x32=-2

получается
-a+3b=3
4a-7b=-2

нет?

но изначально координат-то 4?!
Система получится по-больше, но решение такое.

Да, спасибо, с системой все стало ясно!
Непонятно только как найти координаты x1 и x2 в базисе {x1,x2}, так как
они образуют базис, значит они линейно-независимы.

А если представить их в таком виде: х1=1*х1+0*х2?!

Получаются те же самые координаты?
то есть x1=x1, x2=x2

Почему. Если в базисе х1, х2, имеет место разложение х1=1*х1+0*х2, то какие координаты в этом базисе у вектора х1?

Ааааа, то есть x1=(1,0) ; x2=(0,1)
и все векторы в новом базисе будут состоять из 2х координат, так как базис состоит из 2х векторов?

Получается, что

Ура, спасибо большое что распутали меня