Еще раз всем доброго времени суток. Села решать последние 5 примеров из последней контрольной за этот семместр. Наткнулась на большие и не красивые производные.
Начинаю решать и понимаю, что сама себя начинаю запутывать.
Решила решать последовательно и прошу Вас, если не сложно, подсказывайте так или нет, правильно я решаю или нет. Спасибо заранее
Первый пример такой:
y=arctg^4 (7x/3) + (2-sin3x)^8 * e^-5x.

Я подумала, что будет проще мне их по отдельности найти. Попыталась найти первую половину:
[arctg^4 (7x/3)]'= 4 arctg^3(7x/3) * 1/(1+(7x/3)^2) * (7x/3)'=4 arctg^3(7x/3) * 7/9 / (9+49x^2) /9=
4 arctg^3(7x/3) * 7/(9+49x^2)

Правильно или нет?

Там, где выделено красным, непонятно. Откуда 9?
У меня получилось 84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2)

почему там не 7/3 ?

так, поняла... я наверное просто не туда глянула и использовала другую формулу...

значит у этой гениальной половинки ответ 84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2)....

Теперь вторая не менее "веселая" половинка...
(2-sin3x)^8 * e^(-5x)= [(2-sin3x)^8]'* e^(-5x) + [e^(-5x)]'*(2-sin3x)^8 = 8 (2-sin3x)^7 * (2-sin3x)' * e^(-5x) + (-5x)' * e^(-5x) * (2-sin3x)^8 = 8 (2-sin3x)^7 * (-cos3x)*3*e^(-5x) -x * e^(-5x) * (2-sin3x)^8....
В этом кусочке пока нет ошибок?

Производная от (-5х) равна -5.

Откуда х? Еще раз вычислите (-5x)'.

там 5 должно быть, а не x

пасибо) моя "внимательность"....

там получается
24 (2- sin 3x) ^ 7 * (- cos3x) * e ^ (-5x) - 5* e ^ (-5x) * (2-sin 3x) ^8...
Я согу вынести
e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7...
Останется
(e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7))*(24(-cos3x)-5(2-sin3x))... Тут нигде не ошиблась?

Ну и ну...

Выносите правильно, а пишите неправильно.




Хм... я уже видно после корректировки прочитала.

извиняюсь.. не везде исправила(

(e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7))*(24(-cos3x)-5(2-sin3x)) = (e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7)) * (5sin3x - 24cos3x -10)...
С этой красотой ещё что-нибудь можно сделать?

ответ у этого примера тогда будет:

84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2) + (e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7)) * (5sin3x - 24cos3x -10)

???
или с ним что-то ещё можно сделать?

оставляйте так.

спасибо, один пример победили....

У меня есть еще второй пример (и ещё помимо него 3 О_о... Я Вас замучаю наверное:( )
y=(2x-x^4)/(3cos2x) - (ln5) td^3((2-3x)/4)...
Первая половинка:
y'=((2x-x^4)'*3cos2x - (3cos2x)'*(2x-x^4))/(3cos2x)^2= ((2-4x^3)*3cos2x + 6sin2x*(2x-x^4))/(9cos^2(2x)) = [6{(1-2x^3)*cos2x+sin2x*(2x-x^4)}]/(9cos^2(2x)) = 2/3* ((1-2x^3)*cos2x+sin2x*(2x-x^4))/(cos^2(2x))...
Правильно?

вроде так

не понятно, что это пытаетесь сделать

Это я из скобки (2-4x^3) вынесла 2... А потом вынесла 6. И сократила её с 9.

мне кажется, на упрощения можете сильно не тратить времени. Оставляйте все в таком виде, т.к. все равно красиво ничего не получиться.

поэтому и осталось 2/3... Или не правильный ход был?
cos^2(2x) не надо раскладывать? Мне кажется он картину красивее не сделает...


Спасибо. Хорошо.

праавильный, но, повторюсь, мне кажется ненужный.

я тоже так думаю.

И вторая половинка...
т.к. (ln5)=0, то остается
3tg^2(2-3x)/4 * ((tg(2-3x)/4)' * (ln5) = 3tg^2(2-3x)/4* sec^2 (2-3x)/4*(-3/4)*(ln5)...
Правильно?

почему ln5=0? Или имеется в виду производная?А зачем здесь это надо?

да

Извиняюсь не поставила штрих там.
Да производная Ln5=0. Если я не ошиблась.



не поняла вопроса.... Что надо?

зачем надо, что производная от ln5 равна нулю?

а это я просто написала....

Я в этой половинке могу ещё что-нибудь сделать?

Ну разве что записать так: -9ln5*tg^2[(2-3x)/4]sec^2[(2-3x)/4]/4. Хотя, как мне кажется, можете оставлять и так.

хорошо. Спасибо.

ещё один пример:
[(arccos4x)^(sqrt(5x))]'=(arccos4x)^(sqrt(5x)) * ln (arccos4x) * 5/(2*sqrt(5x)).

Верно?

Нет.Представьте функцию как экспоненту в степени логарифм арккосинуса умножить на корень.

если честно не поняла немного....
вместо
(arccos4x)^(sqrt(5x))
будет
e^ln[ (arccos4x) * (sqrt(5x))]
?

Для решения данного примера надо воспользоваться либо формулой (u^v)'=v*u^(v-1)*u'+u^v*lnu*v', либо логарифмическим дифференцированием:
y=(arccos4x)^(sqrt(5x)) => lny=sqrt(5x)*lnarccos4x => y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)' => y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)' = (arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...

или ln (arccos4x) * 5/(2*sqrt(5x)) надо
"Представьте функцию как экспоненту в степени логарифм арккосинуса умножить на корень"

не понятно немного.....
то что мы прологорифмировали обе части по основанию е я поняла...вот это не поняла, когда уже дифференцировать стали....
y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)' => y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)' = (arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...

(lny)'=y'/y
Тогда получаем, что
y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)'
Отсюда находим y':
y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'
Вместо функции у подставляем ее выражение, тогда
y'=(arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...
Осталось найти производную скобки

смотрю в тетрадь свою по математике как раз на такую же вещь и мы когда пытались вывести формулу такой производной, то делали так:
y=a^u
ln y = ln(a^u)
ln y= u*ln a
y'/y=lna*u'
y'=y*lna*u'
y'=a^u*lna*u'...

Я не поняла.....

здесь а - константа. А задание, котрое вы рассматриваете, это функция в степени функция. Поэтому эта формула здесь не работает.

Т.е. производную от данной функции берете по формуле (смотрите, я ее вам написала), либо используя логарифмы.

все, дошло. спасибо. я забыла, что там а константа...

получила
(arccos4x)^(sqrt(5x))*[5/2sqrt(5x)*lnarccos4x - sqrt(5x)/(arccos4x*sqrt(1-16x^2))]
Правильно?

Когда брали производную от аркосинуса, умножали на производную от его аргумента? По-моему, во втором слагаемом потеряна 4.

забыла

спасибо.

осталось 2 примера...
x^2cos(2x-3y)=5-xy^4.
Как я понимаю сначала надо выразить у из всей этой каши? или нет? Большой и не красивый пример

вам надо найти производную функции, заданной неявно. Поищите, подобные примеры неоднократно обсуждались на форуме.

хорошо. спасибо

пожалуйста.