Помогите пожалуйста определить сходимость ряда, что совсем запутался, вроде правильно применяю второй предельный признак сравненияНажмите для просмотра прикрепленного файла Применяю второй предельный признак сравнения , сравниваю с рядом 1/n^1/2
∞
∑ (1/n^1/2
n=1
Сам ряд
∞
∑1/кв.кореньn*sin1/n
n=1
получаю limn→∞ ( n^-1/2 sin 1/n)/ 1/n^1/2 = limn→∞ ( n^-1/2 sin 1/n)Чn^1/2 =
limn→∞ n^0 *sin 1/n но это же равно 0, что-то не так , а что не пойму.

Сравнивать надо с рядом сумма 1/n^(3/2)
limn→∞ ( n^-1/2 sin 1/n)/ 1/n^(3/2) = limn→∞ n * sin 1/n = sin(1/n) / (1/n) = [t=1/n -->0]= limt→0 sin t / t =1 - первый замечательный предел.
Поэтому ряд сходится.

Спасибо большое , как вообще правильно определять с каким рядом сравнивать?

Ну иногда это бывает затруднительно, конечно...
Но в данном примере всё стало ясно, потому что sin (1/n) эквивалентно 1/n при больших значениях n (т.к. sin x ~ x в окрестности нуля, вместо x мы полагаем 1/n, которое мало при больших n). Поэтому общий член исходного ряда был бы в некотором смысле эквивалентен 1/n^(1/2) * 1/n = 1/n^(3/2), а так как 3/2 > 1, то очевидно, ряд сумма 1/n^(3/2) сходится. Вот так можно взять ряд с общим членом 1/n^(3/2) для сравнения.

Тогда ряд сум ln n/n^7/3 использую первый признак сравнения 1<ln<n^p сравниваю с рядом1/n^2. т.к. ln n/n^7/3 < 1/n^2. а он сходится по интегральному признаку Коши. Это тогда тоже не верно?

Если я правильно понимаю запись, то ln n / n^7/3 (логарифм n делится на n^7/3?)

ln n < n, значит, ln n / n^7/3 < n / n^7/3 = 1/ n^4/3.
Ряд сумма 1/ n^4/3 сходится по интегральному признаку, следовательно, исходный ряд по признаку сравнения тоже сходится.

спасибо большое за Вашу помощь.