Ну иногда это бывает затруднительно, конечно...
Но в данном примере всё стало ясно, потому что sin (1/n) эквивалентно 1/n при больших значениях n (т.к. sin x ~ x в окрестности нуля, вместо x мы полагаем 1/n, которое мало при больших n). Поэтому общий член исходного ряда был бы в некотором смысле эквивалентен 1/n^(1/2) * 1/n = 1/n^(3/2), а так как 3/2 > 1, то очевидно, ряд сумма 1/n^(3/2) сходится. Вот так можно взять ряд с общим членом 1/n^(3/2) для сравнения.