Мне надо проверить эти два выражения на Инъекцию и Сюръукцию.

a) f: (x,y) --> (y+2,x-1)
f:(x,y)--> (xy, x+y)

Инъекция.
a)
y + 2 = 0
x-1 = 0
y=-2
x=1

т.е. других значений y x ,чтобы получался в уравнении 0, у нас быть не может.
значит инъективно

б)
xy=2 значит или х=1 и у=2 или х=2 и у=1, у нас два разных вектора отражаются на результат 2, значит не может быть инъективно.

Суръекция.
а)
(p,q) =f(x,y) = (y+2,x-1)
p=y+2
q=x+1
Суръективно
так как при любых (x,y) p и q никогда не примут одно и тоже значение
б)
(p,q) = f(x,y) = (xy,x+y)
к каждому (p,q) существует имеено одни (х,у) с
p=ху
q=х+у
например, х=2,у=3 тогда p=6, q= 5
но у нас могут p=6, q= 5 получится когда х=3 и у=2
значит не может быть суръективно




где оишбка?

а) Неправильное доказательство.
б) правильно
а) Какие значения принимает х и у? Неверное доказательство.
б) Что такое сюръекция?

а) инъекция и сюръекция
б) ни то, ни другое

Инъекция.
a)
y + 2 = 3
y может быть только 1 и никаким другим числом,чтобы получилась 3

x-1 = 2
х может быть только 3 и никак другим числом, чтобы получилось 2

Сюръекция.
Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X,
а)
y=p-2
x=q-1

а) Нет.
f(x1,y1) = (y1 + 2, x1 - 1)
f(x2,y2) = (y2 + 2, x2 - 1)
Если предположить, что это не инъекция, то существуют две различные точки, например, (x1,y1) и (x2,y2), что
f(x1,y1) = f(x2,y2)
Отсюда получаем, что y1 = y2, x1 = x2.
Следовательно, получаем противоречие с тем, что точки различны. Значит отображение инъективно.

По сюръекции а) правильно.

Осталось доказать, что б) - не сюръекция.

Тролль,
вы не могли бы показать этот пример на точных нормальных числах, без точек.
т.е.
f(3,4) = (4 + 2, 3 - 1)
f(2,1) = (1 + 2, 2 - 1)
Если предположить, что это не инъекция, то существуют две различные точки, например, (3,4) и (2,1), что
f(x1,y1) = f(x2,y2)
Отсюда получаем, что 3 = 4, 2 = 1

Это ведь неправильно?

Тогда
Инъекция б)
тоже можно такое всё обудмать и без конкретных примеров придти к результату, что это инъекция

Да, это неправильно, для доказательства того, что это инъекция, нужно проверить не для двух точек, а для всех точек вообще, как было сделано выше.
б - это не инъекция

Хорошо. А если я доказываю б таким же путём, без определённых чисел.

f:(x1,y1)--> (x1y1, x1+y1)
f:(x2,y2)--> (x2y2, x2+y2)
Если предположить, что это не инъекция, то существуют две различные точки, например, (x1,y1) и (x2,y2), что
f(x1,y1) = f(x2,y2)
Отсюда получаем, что y1 = y2, x1 = x2.
т.е. инъекция.

.
f : R3 → R3 g
f (x, y, z) = (x + 3y + 4z, 2y − z, x − y + 6z)
Здесь я могу доказать,что это не инъекция таким путём
x + 3y + 4z=0
2y − z=0 z=2y
x − y + 6z

x+3y+8y =0 ; x=-11y

-11y-y+12y=0
т.е. без разница какие значения принимают x y z они всегда будут отображаться на 0. Это значит, что несколько векторов будут отображаться на ноль, что уже не является инъекцией.

Но как мне это всё доказать без приведения точных примеров?

Или это дейстувует так
1. Мы в уме прикидываем числа, видим что это инъективно и тогда принимаем ваш способ с точками.
2. Мы в уме прикидываем числа и видим, что это не инъекция и тогда доказываем с конкретными примерами. да?


Суръекция
б)
(p,q) = f(x,y) = (xy,x+y)
к каждому (p,q) существует имеено одни (х,у) с
p=ху
q=х+у

y=p\x
y=q-x
p/x=q-x
xq-x^2 = p
и отсюда значение х не может быть выведенно...

Из того, что (x1y1, x1+y1) = (x2y2, x2+y2) не следует, что y1 = y2, x1 = x2.
"т.е. без разница какие значения принимают x y z они всегда будут отображаться на 0. Это значит, что несколько векторов будут отображаться на ноль, что уже не является инъекцией".
Нет, из того, что Вы получили следует, что в 0 отображается большей одной точки, следовательно, это не инъекция.

1. Мы в уме прикидываем числа, видим что это инъективно и тогда принимаем ваш способ с точками.
2. Мы в уме прикидываем числа и видим, что это не инъекция и тогда доказываем с конкретными примерами. да?

Иногда видно, что это не инъекция, тогда достаточно привести пример.
Если этого не видно, то можно попробовать с точками.
Так как б) - это не сюръекция, то достаточно привести пример.

Сюръекция
б)
(p,q) = f(x,y) = (xy,x+y)
если это сюръекция,то к каждому (p,q) существует имеено одни (х,у) с
p=ху
q=х+у

y=p\x
y=q-x
p/x=q-x
xq-x^2 = p
т.е. здесь нет отображения на y. поэтому не сюръекция



f : R3 → R3 g
f (x, y, z) = (x + 3y + 4z, 2y − z, x − y + 6z)
p=x+3y+4z
q=2y-z z=2y-q
r=x-y+6z x=y-6z+r

p=y-6(2y-q)+r+3y+4(2y-q) = y-12y+6q+r+3y+8y-4q=2q+r
cюръекция?

Посмотрите определение сюръекции.
(p,q) = f(x,y) = (xy,x+y)
Если это сюръекция, то для каждой точки (p,q) существует ХОТЯ БЫ одни (х,у):
p = ху
q = х+у

y = q - x
Тогда
p = x * (q - x)
x^2 - qx + p = 0
Теперь вопрос: почему здесь нет отображения на y?
Второй вопрос - что означает "здесь нет отображения на у"?

f (x, y, z) = (x + 3y + 4z, 2y − z, x − y + 6z)
p = x + 3y + 4z
q = 2y - z
r = x - y + 6z
Решаем систему методом Гаусса
1 3 4 p
0 2 -1 q
1 -1 6 r

1 3 4 p
0 2 -1 q
0 -4 2 r-p

1 3 4 p
0 2 -1 q
0 -2 1 (r-p)/2

1 3 4 p
0 2 -1 q
0 0 0 (r-p+2q)/2
Следовательно, если r - p + 2q <> 0, то система не имеет решений, то есть таких х, у и z не существует.
Получаем, что это не сюръекция.
Либо можно по другому, используя то, что определитель матрицы
1 3 4
0 2 -1
1 -1 6
равен 0.

Мы знаем, что это не сюръекция, значит не для каждой точки существует хотя бы одни (x,y)
Но я не вижу для каких значений (p,q) нет подходящих (x,y).

Можно ли это тоже решить по приницпу Гаусса?
1
1 1
Мы получам не полную матрицу, такого быть не может, значит не сюръективно?



Если бы определитель матрицы был бы больше или меньше нуля, тогда было бы это сюръекцией,да?

Попробуйте почитать что-нибудь про метод Гаусса.
При каких p и q нет корней у уравнения x^2 - qx + p = 0?
Да, если определитель отличен от 0, то это сюръекция.

Корней не будет если p и q будут,например, одинаковыми.

Как в общем виде задать все p и q?

Если p = q = -1, то корни есть.

Я не понимаю))
такое уравнение можно решить через дискриминант.
Но тогда мы получаем на значения q и p, а значение x1 и x2

или же тогда
x^2 - qx + p = 0

p= qx - x^2
q= (p + x^2) \x

Его и нужно решать через дискриминант.

x^2 - qx + p = 0
x1= (q+q^2-4p)\2

x2= (q-q^2-4p)\2

и что дальше?

При каких p и q корни существуют?

если не учитывая комплексные числа, то
q^2>=4p
q>=2p

Следовательно, если выбрать p и q так, что q^2 - 4p < 0, то у данной точки нет прообраза.

cпасибо