Учусь уже на последнем курсе технического университета (но не математический уклон, скорее физический), эту задачу пытаемся и не можем решить уже несколько месяцев
Преподаватели могут предложить задачу студентам, она довольно интересна и имеет практическое значение.

Условие:
Есть две одинаковых окружности радиусом R;
эти окружности накладывают друг на друга (см. вложение-картинку).

Задача:
Найти такое расстояние между центрами окружностей X,
при котором площади S будут равны (S1=S2=S3).

Примечания:
Так как окружности одинаковые, то требуется буквенное решение задачи,
т.е. ответом будет уравнение вида X=f( R ).

Желательно привести полное решение, очень интересно каков все-таки результат

Правила форума
А самостоятельно, что пытались сделать?

Пытались решить исходя из школьных формул (площадь сектора, ромба и т.д.), через интегралы (но было неясно какие пределы интегрирования), с помощью построений. Пока решение не найдено, но известно что искомое X лежит в пределах от 80/100 до 81/100 от радиуса.

Показывайте.

Выше сказано, что Х - это расстояние, не поняла, откуда градусы?!

Показывать пока еще нечего, выводы я выбросил так как ответа не нашел. Но обязательно выложу намётки.


Х - это на самом деле расстояние, ни о каких градусах речи нет. Просто если взять радиус окружности 100мм, то искомое Х будет от 80 до 81мм (ближе к 81, но это банальный подгон на чертеже).

Первый очевидный вариант

См. Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Допустим, что условие равенства площадей выполнено. Тогда очевидно, что площадь выдленного сегмента равна четверти площади круга. Используя формулы площади круга и сегмента (площадь сектора минус площадь треугольника) получаем:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
после сокращения получаем:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Учитывая полузабытые правила математики, я не могу выразить отсюда угол "а" в градусной мере (может быть это невозможно, не могу сказать). К тому же величина этого угла позволит лишь подогнать окружности на чертеже к нужному расстоянию, что невозможно на практике.

Что интересно, отсутствие в итоговом уравнении величины радиуса окружности показывает, что выполнение заданного условия возможно при любом размере окружностей и угол "а" при любом радиусе будет постоянным.

Выразить угол Вы оттуда не сможете, это уравнение можно решить только численными методами. С достаточно хорошей точностью можно считать,что угол составляет примерно 2,3099 радиан, при этом расстояние получается равным примерно 0.8079*R.

Собственно так и получается при подгонке на чертеже (0,8-0,9R; искомый угол примерно 132 градуса), но к сожалению это не тот ответ, который хочется увидеть. При таком значении разница в площадах начинается в первых знаках после запятой

Вариант с интегралом
См. Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Допустим, что условие выполнено. Тогда площадь выделенного элемента будет равна четверти заданной площади или восьмой части площади круга:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Здесь я обозначил искомое Х как Х1.
Приводим уравнение окружности на плоскости к нашему случаю (ее центр лежит на оси "х", на расстоянии R от начала координат):
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Определяем верхний предел интегрирования (нижний предел - ноль):
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Тогда площадь выделенного участка будет равна восьмой части площади круга:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Здесь опять тупик, потому что выразить из уравнения предел интегрирования не получается (во всяком случае Mathcad этого сделать не может, а мне кажется это в принципе невозможно).

Пока что на этом мои идеи заканчиваются

Я же говорю,что не получится в явном виде найти корень уравнения! Хоть какими способами Вы будете его решать - это абсолютно не важно. Если Вам нужна высокая точность - существуют численные методы,с помощью которых можно вычислить почти любое наперёд заданное количество цифр после запятой в этом числе(а если делать это руками - то вообще любое).

Не могли бы подсказать, каким образом это сделать? Просто мои знания о численных методах ограничиваются статьями из википедии
На примере первого уравнения с синусом, через Mathcad или вручную

Всё, я разобрался
Итак, численное решение задачи:

Решение в Mathcad Нажмите для просмотра прикрепленного файла

1). Представляем полученное уравнение в качестве функции от угла "альфа" (переносим левую часть вправо);
2). Строим график полученной функции. Нулём функции как раз будет являться искомый угол. На рисунке показано окно трассировки, из которого видно, что значение угла примерно равно 2,3-2,32 радиан (в принципе, строить график было не обязательно, т.к. значение 2,3099 примерно подходило под решение. Но для неизвестных значений лучше его построить, чтобы визуально оценить решение);
3). Задаем начальное приближение угла 2,3 радиан для поиска корней.
4). Устанавливаем точность вычислений (для Mathcad минимальное значение 10^(-9));
5). Ищем корень с нужным количеством знаков после запятой (на рисунке их 17, это максимальное значение для Mathcad).

Дальше найти зависимость Х от R можно через это значение угла, дело техники

Вобщем всем спасибо, более-менее я разобрался

Ну совсем напоследок:
с максимальной точностью маскада
X=0,8079455065990346*R