Собственно так и получается при подгонке на чертеже (0,8-0,9R; искомый угол примерно 132 градуса), но к сожалению это не тот ответ, который хочется увидеть. При таком значении разница в площадах начинается в первых знаках после запятой

Вариант с интегралом
См. Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Допустим, что условие выполнено. Тогда площадь выделенного элемента будет равна четверти заданной площади или восьмой части площади круга:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Здесь я обозначил искомое Х как Х1.
Приводим уравнение окружности на плоскости к нашему случаю (ее центр лежит на оси "х", на расстоянии R от начала координат):
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Определяем верхний предел интегрирования (нижний предел - ноль):
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Тогда площадь выделенного участка будет равна восьмой части площади круга:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Здесь опять тупик, потому что выразить из уравнения предел интегрирования не получается (во всяком случае Mathcad этого сделать не может, а мне кажется это в принципе невозможно).

Пока что на этом мои идеи заканчиваются