y"+y=(tan(x))^2
решение однородного:y=c1cos(x)+c2sin(x)
дальше применила метод вариации постоянных c1=c1(x),C2=c2(x)
y"=-c1`sin(x)-cos(x)c1+c2`cos(x)-c2sin(x)
подставила в исходное
-c1`cos(x)-cos(x)c1+c1`cos(x)-c2sin(x)+c1cos(x)+c2sin(x)=(tan(x))^2
ввела добавочное условие c1`cos(x)+c2`sin(x)=0
полусила систему двух уравнений
c1`cos(x)+c2`sin(x)=0
-c1`sin(x)+c2`cos(x)=(tan(x))^2
или
c1`=-(tan(x))^2*sin(x)
c2`=sin(x)^2/cos(x)
решая эти два уравнения получила
y=-2+c4cos(x) +sin(x)*ln|tan(x/2+pi/4)|+c3sin(x)

Что-то не поняла, как такое получили?!

y=c1cos(x)+c2sin(x)
нашла первую и вторую производную, считая с1=c1(x),c2=c2(x)
y`=c1`cos(x)-c1sin(x)+c2`sin(x)+c2cos(x)
ввела добавочное условие c1`cos(x)+c2`sin(x)=0
y"=-c1`sin(x)-cos(x)c1+c2`cos(x)-c2sin(x)
подставила в исходное
-c1`sin(x)-cos(x)c1+c2`cos(x)-c2sin(x)+c1cos(x)+c2sin(x)=(tan(x))^2

По идее, когда находили вторую производную, должно появится слагаемое, содержащее C1'', например. Или я ошибаюсь?


Просите, что это за условие? Из каких соображений оно выбирается?

Посмотрите пример.

так этим методом и пользовалась первое уравнение системы и получается c1`cos(x)+c2`sin(x)=0

система получилась правильная:
c1`cos(x)+c2`sin(x)=0
-c1`sin(x)+c2`cos(x)=(tan(x))^2

Вот так мне понятнее. А то что-то куда-то подставляли. Так не умею. Решайте теперь полученную систему относительно c1` и c2`.

c1`=-(tan(x))^2*sin(x)
c2`=sin(x)^2/cos(x)
в первом уравнении внесла sin(x) под дифференциал, tg выразила через cos(x) и получила
c1=-1/cos(x)-cos(x) +c4
во втором заменила sin^2(x)=1-coc^2(x)? и воспользовалась готовым интегралом in 1/cos(x)*dx-in cos(x) dx
c2=ln|tan(x/2+pi/4)|-sin(x)+c3
подставляя в y=c1cos(x)+c2sin(x)
получила
y=-2+c4cos(x) +sin(x)*ln|tan(x/2+pi/4)|+c3sin(x)

что-то у меня не так. Могла ошибиться, распишите подробнее.

Это такое же.

из второго уравнения выразила c2`=-c1`cos(x)/sin(x)
-c1`sin(x)-c1`cos(x)^2/sin(x)=tg(x)^2
привела к О.З
-c1`sin(x)^2-c1`cos(x)^2=sin(x)*tg(x)^2
c1`=-tg(x)^2/sin(x)

Скорее всего, что из первого.

Вроде так.