Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=cosx + y^2, удовлетворяющего начальному условию y(0)=1

примеры смотрели?

да, но решить пока не получилось (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Выкладывайте то, что получилось.

Решаем однородное уравнение
y'-y^2=0
y'=y^2
dy/dx=y^2
dy/y^2=dx
-1/y=x+C
y=-1/(x+C)
Находим частное решение
y1=Acosx+Bsinx
y1'=-Asinx+Bcosx
-Asinx+Bcosx-A(cosx)^2-B(sinx)^2=cosx
B=1
Общее решение
y=-1/(x+С)+cosx

Это правильно?

нет, неправильно. В задании написано использовать разложение в ряд

Ну там же сначала надо найти решение уравнения. Оно у меня неправильное?

Никто Вас не просит найти решение этого уравнения. Я вообще сомневаюсь,что его можно решить. Но Вам-то не точное решение нужно,а его разложение в степенной ряд.

Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения

Да, но для этого необязательно находить само решение,а потом его ещё и в ряд раскладывать.

тогда я не пойму, что надо сделать

Как выглядит степенной ряд?

а0+а1(х-а)+а2(х-а)^2+...+an(x-a)^n+...

Верно. Коэффициенты a_k определены причём единственным образом. Как?

y(0)=1, значит а=1, или я что-то не так понял?

Искомый степенной ряд будет рядом Маклорена для решения данного уравнения,а все коэффициенты в нём равны
a_k=f^(k)(0)/(k!),
f^(k)(0) - значение k-той производной в точке x=0.

Кажется понял
y'=cosx+y^2
y''=-sinx +2yy'
y'''=-cosx+2yy''+2(y')^2
y''''=sinx+2yy'''+6y'y''
y'''''=cosx+2yy''''+8y'y''''+6(y'')^2

y(0)=1
y'(0)=2
y''(0)=2
y'''(0)=11

тогда
y=1+2x/1!+2x^2/2!+...=1+2x+x^2

так?

Правильно,только y'''(0)=3.

Спасибо за помощь!