Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Дифференциальные уравнения _ y'=cosx + y^2
Автор: dm1dm 6.12.2009, 18:38
Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=cosx + y^2, удовлетворяющего начальному условию y(0)=1
Автор: Dimka 6.12.2009, 18:44
примеры смотрели?
Автор: dm1dm 6.12.2009, 19:06
да, но решить пока не получилось 
Автор: Dimka 6.12.2009, 19:10
Выкладывайте то, что получилось.
Автор: dm1dm 11.12.2009, 7:03
Решаем однородное уравнение
y'-y^2=0
y'=y^2
dy/dx=y^2
dy/y^2=dx
-1/y=x+C
y=-1/(x+C)
Находим частное решение
y1=Acosx+Bsinx
y1'=-Asinx+Bcosx
-Asinx+Bcosx-A(cosx)^2-B(sinx)^2=cosx
B=1
Общее решение
y=-1/(x+С)+cosx
Это правильно?
Автор: Dimka 11.12.2009, 8:05
нет, неправильно. В задании написано использовать разложение в ряд
Автор: dm1dm 11.12.2009, 9:51
Ну там же сначала надо найти решение уравнения. Оно у меня неправильное?
Автор: граф Монте-Кристо 11.12.2009, 10:39
Никто Вас не просит найти решение этого уравнения. Я вообще сомневаюсь,что его можно решить. Но Вам-то не точное решение нужно,а его разложение в степенной ряд.
Автор: dm1dm 11.12.2009, 11:01
Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения
Автор: граф Монте-Кристо 11.12.2009, 11:11
Да, но для этого необязательно находить само решение,а потом его ещё и в ряд раскладывать.
Автор: dm1dm 11.12.2009, 11:16
тогда я не пойму, что надо сделать
Автор: граф Монте-Кристо 11.12.2009, 11:21
Как выглядит степенной ряд?
Автор: dm1dm 11.12.2009, 11:25
а0+а1(х-а)+а2(х-а)^2+...+an(x-a)^n+...
Автор: граф Монте-Кристо 11.12.2009, 11:32
Верно. Коэффициенты a_k определены причём единственным образом. Как?
Автор: dm1dm 11.12.2009, 11:37
y(0)=1, значит а=1, или я что-то не так понял?
Автор: граф Монте-Кристо 11.12.2009, 11:47
Искомый степенной ряд будет рядом Маклорена для решения данного уравнения,а все коэффициенты в нём равны
a_k=f^(k)(0)/(k!),
f^(k)(0) - значение k-той производной в точке x=0.
Автор: dm1dm 11.12.2009, 11:57
Кажется понял
y'=cosx+y^2
y''=-sinx +2yy'
y'''=-cosx+2yy''+2(y')^2
y''''=sinx+2yy'''+6y'y''
y'''''=cosx+2yy''''+8y'y''''+6(y'')^2
y(0)=1
y'(0)=2
y''(0)=2
y'''(0)=11
тогда
y=1+2x/1!+2x^2/2!+...=1+2x+x^2
так?
Автор: граф Монте-Кристо 11.12.2009, 12:09
Правильно,только y'''(0)=3.
Автор: dm1dm 11.12.2009, 12:13
Спасибо за помощь!
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)