Первый ряд:
∞
∑ =ln(n)/n^(2/3), lim Un (n->∞)=0, получаем, используя правило Лопиталя.
n=1
А вот дальше я не могу понять, какой из признаков использовать. Сравнения - с чем сравнивать? Интегральный - вряд ли, радикальный Коши - тоже не подходит, Даламбера - точно не подходит.

Правило Лопиталя здесь нипричем. Воспользуйтесь интегральным признаком. Расходится.

Правило Лопиталя использовал для того, чтобы предел найти. А дальше я придумал, как сделать проще сравнением.
Если сравнивать ln(n)/n^2/3 и 1/n^2/3, то первое будет больше, начиная с n=3, т.е. n>2. А так как 1/n^2/3 расходится, то и ln(n)/n^2/3 будет расходиться

У Вас n начинается с 1, а не с 3. Возьмите несобственный интеграл (по частям) и увидите, что ряд расходится.