Не уверен что правильно решил:

(IMG:http://i055.radikal.ru/0910/c0/9ec69ad08965.jpg)

(IMG:http://i001.radikal.ru/0910/d1/6dd5d0309e7d.jpg)

Можно применять как я сделал формулу: integral(dx/(sqrt(a^2 - x^2)))=arcsin(x/a) + const.

вы неправильно преобразовали,там особенность будет в единице, а не в 4/3.

В смысле пределы интеграла должны быть другие? Но ведь должно быть число от 1 до 2/3! Или нет?

Подкоренное выражение в знаменателе в самом начале обращается в ноль в точке x=1, а после Ваших преобразований оно уже вообще нигде в ноль не обращается.

И как посоветуете преобразовать подкоренное выражение?

Сначала нужно показать,что он сходится, а уже потом вычислять его.

Обьясните в двух словах как это делается или напишите ссылку где есть примеры. В типовом примере решения нет ничего написаного насчет этого:

(IMG:http://s14.radikal.ru/i187/0910/93/0435bd39bad3.jpg)

Можно,например,ограничить сверху функцией,интеграл от которой точно сходится.

если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Значит при х=1 получим деление на ноль (dx/0) и следовательно интеграл расходиться?

не пойму в примерах интеграл решается, подставляются пределы и в конце делают вывод о сходимости.

http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/unprint/UnProInt.htm

Нет,не обязательно.Подынтегральная функция может стремиться к бесконечности,но интеграл может существовать.

Можете пожалуйста написать какой-то простой пример или ссылку . Честно не понимаю с чего начать!

Например,в Вашем интеграле,если сделать замену x-1=t, то полученный интеграл будет иметь особенность в точке t=0, а сверху его можно ограничить интегралом от функции C/sqrt(t), где С - некая константа. Новый интеграл берётся, а,значит,и наш исходный также сходится.Дальше уже вычисляете его,выделяя полный квадрат од корнем и т.д.

Что-то пожожее?
-(x-1)(x-2) = -(x^2 - 2x - x + 2)
t=x-1 , x-2=t-1
получим: int{1;c/sqrt(t)}dt/(sqrt(-t(t-1)))

Да.

и как стало известно что этот интеграл берется?

Убедившись ,что интеграл сходится. Вычисляю интеграл также только предел между 1 и 3/2 беру какой?

В каком смысле какой? У Вас неопределённость в точке x=1, значит нужно приближаться справа к 1.

какое число?