Помогите решить. Для меня тема новая, не знаю как решать типичные задания.

(1)
Пусть x1 и x2 - корни уравнения x^2+px+q=0, x1<x2.
Докажите, что если t удовлетворяет неравенствам x1<=(t^2-q)/(2t+p)<=x2, то t равно x1 или x2.

(2)
Для каких р существует q, такое, что уравнение x^2+px+q=0 имеет один корень на отрезке [1;2] и один корень на отрезке [5;7]?

(3)
При каких значениях a существует единственный корень уравнения x^2-ax+2=0, удовлетворяющий условию 1<x<3?

Может быть так, как предложил Дима, проще или короче (не пробовал), нот для меня эстетичнее следующий путь.

Пусть s - число нужных корней. Требуется найти s в зависимости от а.

1)Проверьте, что s=0 при а=0. Теперь рассмотрим а, не равные нулю.
2) Разделим обе части на а (после 1) это сделать можно) и, обозначив b=1+(1/a), получим
bx^2-3x+4=0.
3) убеждаемся, что x=0 не корень при любом b. Делаем поэтому замену неизвестного
x=1/t, причем условие x<1 эквивалентно t Э (-00,0)U[1,+00), а уравнение:

4t^4-3t+b=0
4) Получили задачу: найти число s корней уравнения 4t^4-3t+b=0, удовлетворяющих t Э (-00,0)U[1,+00) в зависимости от b.
Решаем ее графически.

5) Строим график функции y=4t^4-3t (это левая часть уравнения при b=0) - парабола с корнями 0 и (3/4). Ясно, что s=0 при b=0.

6) Рассматриваем графики левой части уравнение при b не 0. Ясно, что эти графики получаются из построенного сдвигом вверх-вниз на b единиц (в зависимости от знака b )

7) Графическо легко вывести, что
s=0 при b>=0
s=1 при b Э [-1,0)
s=2 при b<-1

Учитывая связь b и а - получим:

s=0 при а Э [-00,-1]U[0,+00)
s=1 при а Э (-1,-1/2]
s=2 при а Э (-1/2,0)