Версия для печати темы

Автор: Inn 26.7.2009, 8:57

Помогите решить. Для меня тема новая, не знаю как решать типичные задания.

(1)
Пусть x1 и x2 - корни уравнения x^2+px+q=0, x1<x2.
Докажите, что если t удовлетворяет неравенствам x1<=(t^2-q)/(2t+p)<=x2, то t равно x1 или x2.

(2)
Для каких р существует q, такое, что уравнение x^2+px+q=0 имеет один корень на отрезке [1;2] и один корень на отрезке [5;7]?

(3)
При каких значениях a существует единственный корень уравнения x^2-ax+2=0, удовлетворяющий условию 1<x<3?

Автор: tig81 26.7.2009, 9:00

http://www.prepody.ru/ipb.html?act=boardrules
Ваши идеи? http://www.dink.ru/ref/viet.php проходили?

Автор: kaa 26.7.2009, 10:10

т. Виета
x1+x2=-p
x1*x2=q

Автор: venja 26.7.2009, 17:45

А теперь подставьте р и q, выраженные через х1 и х2, в

x1<=(t^2-q)/(2t+p)<=x2

Преобразуйте и решите эту систему неравенств. Все получится.

Для остальных задач думаю полезно почитать тему: Расположение корней квадратного трехчлена.
Найдите по поиску.

Автор: tig81 26.7.2009, 17:47

venja, автор темы, наверное, уже потерял интерес к своим заданиям.
Или...

Автор: venja 26.7.2009, 17:52

Или ... нет

Автор: tig81 26.7.2009, 17:56

Или нет, но пока тишина.

Автор: Inn 26.7.2009, 20:28

автор темы уехал на две недели, теперь вернулся и с интересом читает каждый пост

Автор: tig81 26.7.2009, 20:54

Быстро две недели пролетело.

Автор: venja 27.7.2009, 4:17

По-видимому, автор путешествовал со скоростью, близкой к скорости света.

Автор: tig81 27.7.2009, 5:31

Скорее всего.

Автор: Inn 27.7.2009, 6:16

две недели после того как я повторно тему открыл

Автор: tig81 27.7.2009, 6:18

Точно, думаю где ж я такие задания уже видела. А правила так прочитать и не удосужились.

П.С. Ждем ваших наработок, иначе и эту тему ждет такая же участь.

Автор: Inn 3.8.2009, 10:14

Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1+a)x^2-3ax+4a=0 в зависимости от a?

Автор: tig81 3.8.2009, 10:29

Ваши наработки?

Автор: Inn 3.8.2009, 10:38

Выложенные мною ранние примеры меня уже не интерисуют, а как решить уравнение, описанное в пердыдущем посте я не знаю, прошу помочь.

Автор: Dimka 3.8.2009, 10:54

Найдите корни уравнения x1 и x2. Решите систему неравенств x1<1, x2<1 из которых найдете интервал со значениями параметра a.

Автор: venja 3.8.2009, 14:24

Может быть так, как предложил Дима, проще или короче (не пробовал), нот для меня эстетичнее следующий путь.

Пусть s - число нужных корней. Требуется найти s в зависимости от а.

1)Проверьте, что s=0 при а=0. Теперь рассмотрим а, не равные нулю.
2) Разделим обе части на а (после 1) это сделать можно) и, обозначив b=1+(1/a), получим
bx^2-3x+4=0.
3) убеждаемся, что x=0 не корень при любом b. Делаем поэтому замену неизвестного
x=1/t, причем условие x<1 эквивалентно t Э (-00,0)U[1,+00), а уравнение:

4t^4-3t+b=0
4) Получили задачу: найти число s корней уравнения 4t^4-3t+b=0, удовлетворяющих t Э (-00,0)U[1,+00) в зависимости от b.
Решаем ее графически.

5) Строим график функции y=4t^4-3t (это левая часть уравнения при b=0) - парабола с корнями 0 и (3/4). Ясно, что s=0 при b=0.

6) Рассматриваем графики левой части уравнение при b не 0. Ясно, что эти графики получаются из построенного сдвигом вверх-вниз на b единиц (в зависимости от знака b )

7) Графическо легко вывести, что
s=0 при b>=0
s=1 при b Э [-1,0)
s=2 при b<-1

Учитывая связь b и а - получим:

s=0 при а Э [-00,-1]U[0,+00)
s=1 при а Э (-1,-1/2]
s=2 при а Э (-1/2,0)

Автор: venja 4.8.2009, 15:33

Dimka, venja, спасибо за помощь!

Разобрал оба способа решения задачи, теперь знаю как решать подобное.
Благодарю еще раз.
Inn.

P.S. Как обычно, выдаю желаемое за действительное

Автор: Bonus 4.8.2009, 17:04

Мне показалось или кто-то сам себя поблагодарил за помощь?

Автор: tig81 4.8.2009, 17:58

вот-вот



Это Inn под другим ником зашел.

Автор: Inn 5.8.2009, 13:26

Dimka, venja, спасибо за помощь!

Разобрался с задачей, теперь знаю как решать подобное.
Благодарю еще раз. =)