рациональное число представляеться бесконечной десятичной дробью периодической с некоторого места. Как доказать?

С помощью принципа Дирихле.
Количество остатков при делении на знаменатель конечно. Поэтому с какого-то момента будет повторяться число, которое мы делим (при делении уголком).