Подскажите, чем является полугруппа, состоящая из натуральных чисел и числа нуль?
1. абелевой группой
2.циклической группой
3.свободной полугруппой
4.моноидом
5. циклической полугруппой

по сложению или умножению?

по сложению

Ну так что, берете определение каждого из пяти объектов и проверяете.
Начинайте, пишите - обсудим.

это полугруппа содержит элемент е(единицу) для которог ае=еа-а. Значит эта полугруппа -моноид?
Но точно не циклическая, т.к. ноль не является суммой несколький единиц, хотя все натуральные являются.

Ну хорошо, давайте дальше.
(про п.2 - лучше возьмитесь за другое слово (группа), сразу двух зайцев убьете)

И не группа, т.к. нет обратного элемента.

Осталось 3 и 5.

3-й пунк уже обсуждался - нет
Поскольку полугруппа коммутативна по сложению, т.е. в ней есть определяющие соотношения, по она не свободная.
Путаница какая-то! Может я не правильно рассуждаю, но выходит моноид: а+0=0+а=а

В чем путаница?

я уже не думаю , что моноид - ведь задана операция сложения, а не умножения
ответ у меня не получается!

А при чём здесь название операции?

Что такое моноид? Это алгебра с ассоциативной бинарной операцией и имеющая нейтральный элемент относительно этой операции.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%...%BE%D0%B8%D0%B4

Хоть горшком эту операцию назови, лишь бы свойства нужные были.

Значит все-таки моноид?

Да, моноид. Ответ не изменится, если то же множество рассмотреть относительно обычного умножения. Теперь нейтральным элементом будет 1.
А вот ещё: на том же множестве определим операцию !:
x!y=xy+x+y, здесь xy - обычное перемножение чисел x и y, а + это обычное сложение.
Относительно этой операции опять получим моноид - проверьте ассоциативность и найдите нейтральный элемент.

Огромное спасибо! А то я совсем запуталась!